有限体、局所体、及び大域体の上に定義された代数多様体とその基本群の数論幾何的研究

有限域、局部域和全局域上定义的代数簇及其基本群的算术几何研究

• 批准号: 08740019
• 负责人: 玉川 安騎男
• 金额: $ 0.45万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740019/
• 关键词: 代数曲線; 基本群; Grothendieck予想; p-rank

今年度は、当初研究目的として掲げたうちの「正標数の代数閉体上の曲線についてのGrothendieck予想」について進歩があった。主結果は、F_pの代数閉包の上の連結、smoothな代数曲線でコンパクト化の種数が0のものについては、その基本群の位相群としての同型類が元の曲線のschemeとしての同型類を完全に決定するということを示したことである(論文準備中)。この結果の証明は、まず、一般種数の曲線に対してコンパクト化で付け加わる点(punctures)の数が基本群から復元できるという当該研究者の結果を、元の曲線の被覆に現れる各曲線に対して適用し、有限群の置換表現に関する補題と組み合わせることによって、各punctureに対する惰性群を復元した.(更にArtin指標を用いて高次分岐群も復元される。)これによって、元の射影直線の各アーベルtame被覆に対応する基本群の部分群を指定することが可能になった。他方、各巡回tame被覆のp-rank(の適当な成分)の中に、元の射影直線の分岐点の座標の間にどんなF_p-線型関係が成り立っているかの情報が入っていることを発見し、更にこれを元の射影直線の被覆に現れる適当な射影直線に適用することによって、元の射影直線の分岐点の集合が(同型を除いて)完全に復元されることがわかった。曲線のp-rankが基本群から復元されることは既に当該研究者によって証明されているので、以上により主結果が証明される。今後は、一般種数の曲線の場合に同様の結果を証明したいと思っているが、そのためには、分岐点の座標を用いた具体的な計算とは異なる全く新しいアイディアが必要であると考えている。

今年，我们最初提出的作为我们的研究目的的“代数封闭元素的曲线预测”，我们取得了进展。主要结果是，对于f_p代数闭合上方的串联，平滑的代数曲线，压实数为零，同构为基本组的相组完全确定为原始曲线方案的同构（制备中）。该结果的证明首先应用于研究人员的发现，即可以通过压实添加到一般物种曲线的点数可以从基本组恢复到原始曲线封面中出现的每条曲线，并与列出的列表相结合，以替换有限组的替代曲线，以恢复每个点的均值。 （此外，还使用ARTIN索引还恢复了高阶分支组。）这使得指定与原始投影直线的每个Abel Tame相对应的基本组的子组。另一方面，我们发现，在每个环状驯化涂层的P级（适当组件）中，包含有关F_P线性关系在原始投影线的分支的坐标坐标之间存在的信息，然后通过将其应用于原始预测线的封面中，该线路出现在分支机构的封面中，将其应用于分支机构的原始点，这是在分支机构的封面中出现的，该线路是在分支机构中的（IS设置的），该线路是在分支机构的设置之外的（设置的）。研究人员已经证明，曲线的P级是从基本组恢复的，因此主要结果得到了证明。将来，我们想证明一般物种曲线的相似结果，但是我们认为，为了做到这一点，我们需要一个与使用分支点的坐标的具体计算不同的全新想法。

项目成果

Akio Tamagawa: "The Grothendieck conjecture for affine curves" Compositio Mathematica. (to appear).

Akio Tamakawa：“仿射曲线的格洛腾迪克猜想”Compositio Mathematica。