代数曲線の数論的基本群と逆ガロア問題

代数曲线的算术基本群与伽罗瓦反问题

• 批准号: 13740009
• 负责人: 玉川 安騎男
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740009/
• 关键词: 代数曲線; 基本群; 普遍被覆; 正標数; Raynaudのテータ因子; Skolemの問題; 国際研究者交流; オランダ; 被覆; Grothendieck予想; Prym多様体; Torelli問題; gonality

研究目的「正標数の体の上の代数曲線の幾何的基本群の構造」に関して、以前に、標数2の有限体の代数閉包の上の任意の非特異アフィン代数曲線が共通の(pro-etale)普遍被覆を持つことを証明していたが、今年度は、これを任意の標数の場合に拡張することに成功した。これは、標数0における望月の定理と好対照をなし興味深い。また、この共通の普遍被覆は、複素解析幾何における上半平面の正標数類似と考えることができるが、実際にさまざまな興味深い類似現象が成立することも証明できた(以上論文準備中)。現時点ではこの類似は形式的なものにとどまっているが、より内在的な類似の追求という興味深い問題を提示している。なお、上記の結果の証明の鍵として、Skolemの問題に関するRumelyとMoret-Baillyの定理の正標数不分岐版の証明に成功した。この結果は、上記の問題以外にも、「large」な体の新しい構成、(非アーベル的な)主イデアル定理とその一般化、などさまざまな応用を持つ(以上論文投稿中)。研究目的「局所体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」に関連して、当該科学研究費交付金により、局所体上のアーベル多様体・志村多様体の専門家であるB.Moonen氏(オランダ)を招待し、彼によるSerre-Tate理論の一般化を学ぶとともに、彼との議論の中で、研究目的「正標数の体の上の代数曲線の幾何的基本群の構造」に関連するRaynaudのテータ因子の絶対豊富性の証明に向けてのヒントを得ることができた。研究目的「大域体の上の代数曲線の数論的基本群の構造」に関しては、新しい進展は見られなかったが、構想中の有理連結多様体の理論の応用に関していくつか最近の理論を学び、方向性を得ることができた。

有关“积极决定因素领域上方的几何基本基本曲线的结构”的研究目标，我们先前证明，在有限的度量2的代数封闭之上的任何非词位仿射代数曲线上方的任何非词性仿射代数曲线都具有共同的（Pro-Etale）通用涂层，但是我们已经成功地将其扩展到了任何措施。这很有趣，与Mochizuki的定理在0分尺度上相反。此外，尽管在复杂分析几何形状中，这种常见的通用涂层可以被认为与上半平面的正分母相似，但也已证明，实际上存在各种有趣的类似现象（目前正在准备这些论文）。在这一点上，这个类比仍然是正式的，但是提出了追求更具内在类比的有趣问题。此外，作为证明上述结果的关键，我们已经成功证明了关于Skolem问题的谣言和Moret-Bailly的定理的积极构成单学版本。除上述问题外，该结果还具有各种应用，包括新的“大”机构的新结构，（非亚伯）主理想定理及其概括（在提交的论文中）。 In relation to the research objective "Structure of the numerical fundamental group of algebraic curves on local bodies", the grant for the Scientific Research invited Mr. B. Moonen (Netherlands), an expert on Abelean and Shimura manifolds on local bodies, to learn about his generalization of Serre-Tate theory, and in his discussion with him, we were able to obtain hints for the absolute abundance of Raynaud's Theatrical factors related to研究目标“代数曲线的几何基本基本群在积极计时领域上的结构”。尽管没有关于研究目标的新发展，但“数值基本基本曲线的结构上方是全球上方的”，但我们已经了解了有关该概念中合理联系理论的应用的一些最新理论，并获得了方向。

项目成果

Akio Tamagawa: "Fundamental Groups and Geometry of Curves in Positive Characteristic"Proc. Sympos. Pure Math.. 70. 297-333 (2002)

玉川昭夫：“积极特征中曲线的基本群和几何”Proc。

Akio Tamagawa: "On the tame fundamental groups of curves over algebraically closed fields of characteristic >0"MSRI Publications. 41(発表予定). 49-107 (2003)

Akio Tamakawa：“关于特征 >0 的代数闭域上的柔和基本曲线群”MSRI Publications 41（待出版）。

Hiroaki Nakamura, Akio Tamagawa, Shinichi Mochizuki: "The Grothendieck Conjecture on the Fundamental Groups of Algebraic Curves"Sugaku Expositions. 14, No.1. 31-53 (2001)

Hiroaki Nakamura、Akio Tamakawa、Shinichi Mochizuki：“关于代数曲线基本群的格洛腾迪克猜想”Sugaku 阐述。