代数曲線の被覆の数論と幾何

代数曲线覆盖的数论和几何

• 批准号: 07F07028
• 负责人: 玉川 安騎男
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07F07028/
• 关键词: 代数曲線; 被覆; 数論幾何; ガロア表現; アーベル多様体; 基本群; 国際研究者交流; 米国; 米国:仏国:英国:韓国

玉川とRasmussenは、当該研究期間以前の共同研究において、代数体kと自然数gを固定するとき、k上のg次元アーベル多様体Aの同型類と素数1の組で、Aの全ての1冪等分点を添加して得られる体が1の外で不分岐でk(ζ1)上副1な拡大になるようなものの集合A(k,g)は有限集合であることを予想し、A(Q,1)の有限性を証明していた。更に、昨年度の終わり頃、この予想について、kが有限個の例外(類数1の虚二次体)を除く任意の二次体の場合のA(k,1)の有限性の証明、A(Q,2)、A(Q,3)の有限性の証明、及び、一般リーマン予想の仮定の下での一般のgに対するA(Q,g)の有限性の証明に到達した。本年度は、玉川とRasmussenの共同研究により、代数曲線の被覆の数論幾何に関連する、次のような重要な成果を得た。1.任意の二次体kに対し、A(k,1)の有限性の証明を得た。証明は、昨年度のものとは異なる全く新しい着想に基づくものである。2.(E,11)がA(Q,1)に属するようなQ上の楕円曲線Eは同種を除いて二つ存在するが、これらの曲線に対し、Q(E[121])内のQ(ζ11)の最大アーベル拡大体を決定した。これらの計算は、射影曲線引く3点の基本群の上の外ガロア表現に関する伊原の問題の観点から興味が持たれる。3.A(Q,g)に属する(A,1)に対し、1が十分大きければAは1の上で(potentialに)超特異還元を持つか、という未解決問題に関連し、1進体上のアーベル多様体ないし1加除群に関するある問題を定式化した。この問題について、安田正大氏(京大数理研)が、g=3に対し、Breuil-Kisinの理論に基づいて1加除群の場合の反例を構成したが、この反例を改良することにより、形式アーベルスキームの場合の反例を構成することに成功した。(代数的)アーベルスキームの場合の反例の構成は、今後の研究が待たれる。

In a joint research project before the research period, Tamagawa and Rasmussen predicted that when the algebraic form k and the natural number g were fixed, the set A(k,g) of the set of the isomorphisms of the g-dimensional Abelean manifold A on k and prime number 1, which were obtained by adding all 1-idem dividing points of A, would be an inflection outside 1 and become sub-1 expansion above k(ζ1),并证明了A（Q，1）的有限性。此外，在去年年底，我们已经达到了任何二次领域的A（k，1）的证明，除了有限数量的例外（假想的二次二次领域1），证明A（Q，2），A（Q，Q，3）的有限性，A（Q，3），以及对（Q，g）的有限态度的证明。今年，Tamagawa和Rasmussen之间的合作取得了以下重要结果，与代数曲线的数量理论几何形状覆盖：1。在任何二级场K中获得了A（K，1）的有限证明。证明是基于与去年不同的全新想法。 2。Q上有两个椭圆曲线E，除了相同的物种外，（Q，1）属于A（e，11），但是对于这些曲线，确定了Q（E [121]）中Q（ζ11）的最大ABEL扩大。这些计算在IHARA问题上引起了人们的关注，该计算是关于投影曲线提取的三个点的基本组的外观表示。 3.属于A（q，g）的（a，1）的AS，一个与未解决的问题有关的问题，即A在1上是否具有超强的减少（潜在），而如果1足够大，则A（可能）在1上过度降低了（可能）降低1的问题，并且是abelean歧管或1个排除组的排除组的问题。关于这个问题，基于Breuil-Kisin的理论，Yasuda Masahiro（京都大学数学研究所）为单个加法组的g = 3构建了一个反例，但是通过改进此反例，他成功地为正式的Abel计划构建了反例。在（代数）Abele计划的情况下，正在等待未来的研究来构建反示例。

项目成果

A finiteness result for abelian varieties with constrained prime power torsion

素幂挠率受限的阿贝尔簇的有限性结果

• 发表时间: 2007
• 作者: Bam Razafindrabe;G. Parvin;A. Surjan;Y. Takeuchi;Rajib Shaw;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen
• 通讯作者: Christopher Rasmussen

Abelian varieties with constrained torsion

受约束扭转的阿贝尔簇

• 发表时间: 2008
• 作者: Bam Razafindrabe;G. Parvin;A. Surjan;Y. Takeuchi;Rajib Shaw;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen
• 通讯作者: Christopher Rasmussen