代数曲線の被覆の数論と幾何

代数曲线覆盖的数论和几何

• 批准号: 07F07028
• 负责人: 玉川 安騎男
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07F07028/
• 关键词: 代数曲線; 被覆; 数論幾何; ガロア表現; アーベル多様体; 基本群; 国際研究者交流; 米国; 米国:仏国:英国:韓国

玉川とRasmussenは、当該研究期間以前の共同研究において、代数体kと自然数gを固定するとき、k上のg次元アーベル多様体Aの同型類と素数1の組で、Aの全ての1冪等分点を添加して得られる体が1の外で不分岐でk(ζ1)上副1な拡大になるようなものの集合A(k,g)は有限集合であることを予想し、A(Q,1)の有限性を証明していた。更に、昨年度の終わり頃、この予想について、kが有限個の例外(類数1の虚二次体)を除く任意の二次体の場合のA(k,1)の有限性の証明、A(Q,2)、A(Q,3)の有限性の証明、及び、一般リーマン予想の仮定の下での一般のgに対するA(Q,g)の有限性の証明に到達した。本年度は、玉川とRasmussenの共同研究により、代数曲線の被覆の数論幾何に関連する、次のような重要な成果を得た。1.任意の二次体kに対し、A(k,1)の有限性の証明を得た。証明は、昨年度のものとは異なる全く新しい着想に基づくものである。2.(E,11)がA(Q,1)に属するようなQ上の楕円曲線Eは同種を除いて二つ存在するが、これらの曲線に対し、Q(E[121])内のQ(ζ11)の最大アーベル拡大体を決定した。これらの計算は、射影曲線引く3点の基本群の上の外ガロア表現に関する伊原の問題の観点から興味が持たれる。3.A(Q,g)に属する(A,1)に対し、1が十分大きければAは1の上で(potentialに)超特異還元を持つか、という未解決問題に関連し、1進体上のアーベル多様体ないし1加除群に関するある問題を定式化した。この問題について、安田正大氏(京大数理研)が、g=3に対し、Breuil-Kisinの理論に基づいて1加除群の場合の反例を構成したが、この反例を改良することにより、形式アーベルスキームの場合の反例を構成することに成功した。(代数的)アーベルスキームの場合の反例の構成は、今後の研究が待たれる。

在本研究期之前的联合研究中，玉川和拉斯穆森发现，当代数域 k 和自然数 g 固定时，g 维阿贝尔簇 A 在 k 和素数 1 上的同构类是以下集合： A 的所有 1 次幂。猜想使得等分点相加得到的域是一个无分支的、k(z1)在1之外的子1扩展的对象的集合A(k,g)是有限集，并且A证明了(问，1）。此外，去年年底左右，关于这个猜想，当k是除有限个例外（类号1的虚二次域）之外的任何二次域时，A(k,1)的有限性证明，A We在一般黎曼猜想的假设下，证明了 (Q,2)、A(Q,3) 的有限性以及一般 g 的 A(Q,g) 的有限性。今年，通过玉川和拉斯穆森的联合研究，我们获得了以下与代数曲线覆盖算术几何相关的重要成果。 1. 我们获得了对于任意二次域 k 的 A(k,1) 的有限性证明。该证明基于一个全新的想法，与去年不同。 2. Q 上有两条椭圆曲线 E 使得 (E,11) 属于 A(Q,1)，排除同类，但对于这些曲线，我们确定了 Q(ζ11) 的最大阿贝尔扩张域。从 Ihara 关于绘制射影曲线的基本三点组的外伽罗瓦表示的问题的角度来看，这些计算很有趣。 3. 对于属于 A(Q,g) 的 (A,1)，如果 1 足够大，A 是否（可能）对 1 进行超奇异约简？我们提出一个关于域上的阿贝尔簇或可分群的问题。关于这个问题，Masahiro Yasuda（京都大学数学科学研究所）基于Breuil-Kisin理论在1-加法/除法群的情况下构造了g=3的反例，但是通过改进这个反例，我们成功地得到了为阿贝尔方案的情况构造一个反例。在（代数）阿贝尔格式的情况下构造反例需要未来的研究。

项目成果

A finiteness result for abelian varieties with constrained prime power torsion

素幂挠率受限的阿贝尔簇的有限性结果

• 发表时间: 2007
• 作者: Bam Razafindrabe;G. Parvin;A. Surjan;Y. Takeuchi;Rajib Shaw;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen
• 通讯作者: Christopher Rasmussen

Abelian varieties with constrained torsion

受约束扭转的阿贝尔簇

• 发表时间: 2008
• 作者: Bam Razafindrabe;G. Parvin;A. Surjan;Y. Takeuchi;Rajib Shaw;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Baksheev Evgeny Sergeevich;Christopher Rasmussen;Christopher Rasmussen
• 通讯作者: Christopher Rasmussen