ベクトル値ジーゲル保型形式のなすテンソル環の研究

向量值Siegel模形式形成的张量环的研究

• 批准号: 14654007
• 负责人: 伊吹山 知義
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-14654007/
• 关键词: ベクトル値; テンソル環; 保型形式環; 半整数ウェイト; ボーチャーズ積; 志村対応; ヤコービ形式; ジーゲル保型形式; ゼータ関数; 保型形式; 微分作用素; ラングランズ予想; リフティング; 整数論; ゼータ函数; 岩堀部分群; コンパクト実形

今年度は最終年度であるが、保型形式テンソル環という概念の重要性は、低次表現の保型形式の加群構造や志村対応予想その他を通じて、ますますあきらかになったとなったと考える。ベクトル値での保型形式を考えるべき事情は次のような点にも現れている。たとえばRankin-Cohen型の微分作用素は既知のジーゲル保型形式のいくつかの組から新しいジーゲル保型形式を構成する手段である。1変数保型形式に関してならば、2つの組が本質的で他はすべてこれから得られる。多変数ではこれは正しくない。しかしベクトル値の保型形式まで考えれば正しい可能性がある。このような発想で、今年度はRankin-Cohen型作用素の具体形について次数2で3つの組の場合の一般論を研究した。任意のウェイトでの記述にはなっていないが、応用上も理論上も意義があると考える。また、保型形式テンソル環は有限生成ではなく、有限生成な環を考えるには定義の条件を弱めて、弱ジーゲル保型形式とでも言うべきものを考える必要がある。この候補の条件としては、たとえば対角成分に極を許すことが考えられる。極や零点の条件をみるには乗法的構造という点でBorcherds積が相性がよく、Γ_0(N)型の離散群について、Borcherds積の理論、および実例を開発した(青木弘樹との共同研究)。また、昨年度代表者が提唱した志村対応予想を考慮に入れるとベクトル値ジーゲル保型形式の固有値の合同に関するHarder予想は半整数ウェイトの保型形式の合同に帰着することを発見した。これについては実験や証明はまだこれからの課題である。また低いウェイトの保型形式の構造についてもいまだ良く分からない点が多い。しかしいずれにしても萌芽的段階からはっきりした研究プログラムを持つ段階に移行しつつあり、本研究計画の役割を十分果たしたと考えている。

虽然今年是最后一年，但我相信通过低阶表示中自同构形式的模结构、志村对应猜想等的使用，自守张量环概念的重要性已经越来越清晰。我们应该考虑向量值中自同构形式的原因还出现在以下几点。例如，Rankin-Cohen 型微分算子是一种从几组已知的 Siegel 模形式构造新的 Siegel 模形式的方法。对于单变量自同构形式，两个集合是必要的，其他一切都由此而来。对于多个变量而言，情况并非如此。但是，如果考虑向量值的自同构形式，它可能是正确的。基于这个思想，今年我们研究了二阶三集Rankin-Cohen型算子具体形式的一般理论。虽然它不是用任意权重来描述的，但我认为从应用和理论角度来看都是有意义的。此外，自守形式张量环不是有限生成的，为了考虑有限生成环，需要弱化定义条件并考虑所谓的弱西格尔模形式。作为该候选的条件，例如可以允许对角分量中的极点。 Borcherds 乘积非常适合从乘法结构的角度来检验极点和零点的条件，并且他开发了 Γ_0(N) 型离散群的 Borcherds 乘积的理论和实例（与 Hiroki Aoki 联合研究）。 。另外，考虑到去年代表提出的志村对应猜想，我们发现关于向量值Siegel自同构形式的特征值同余的Harder猜想可以简化为具有半整数权重的自同构形式的同余。对此的实验和证明仍然是未来的挑战。关于低权重自同构形式的结构还有很多不清楚的地方。但无论如何，我们正在从萌芽阶段走向有明确研究计划的阶段，我们相信这个研究计划的作用已经发挥出来了。

项目成果

伊吹山 知義: "Vector Valued Siegel Modular Forms of Sym(4) and Sym(6)"京都大学数理解析研究所講究録. 1281. 129-140 (2002)

Tomoyoshi Ibukiyama：“Sym(4) 和 Sym(6) 的向量值 Siegel 模形式”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku。1281. 129-140 (2002)

T.Ibukiyama, H.Katsurada: "An explicit form of Koecher-Maass dirichler series for Klingen's Eisenstein series"J.Number Theory. 102・No.2. 223-256 (2003)

T. Ibukiyama、H. Katsurada：“克林根爱森斯坦级数的 Koecher-Maass dirichler 级数的显式形式”J. 数论 102·No.2 (2003)。

T.Watanabe: "The Hardy-Littlewood properties of flag varieties"Nagoya Math.J.. 170. 185-211 (2003)

T.Watanabe：“旗品种的 Hardy-Littlewood 特性”Nagoya Math.J.. 170. 185-211 (2003)

T.Watanabe: "A survey and a compliment of fundamental Hermite constants"Contenporary Math.. (to appear).

T.Watanabe：“对基本埃尔米特常数的调查和补充”当代数学..（即将出现）。

伊吹山 知義編: "第2回保型形式周辺分野スプリングコンファレンス報告集"238 (2004)

伊吹山智义编辑：“第二届自守形式春季会议”238（2004）