バーンサイド環の一般化とその乗法的性質の研究

Burnside 环的推广及其乘法性质的研究

• 批准号: 22K03242
• 负责人: 竹ケ原 裕元
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Muroran Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03242/
• 关键词: バーンサイド環; 束; べき等元; 単数群; 有限群; テンソル誘導写像

有限群 G のバーンサイド環の一般化である、G-lattice L に対して、G の各部分群 H と L の H が自明に作用する空でない sublattice (部分束) L(H) の組の族がなす圏で定義されるグロタンディック環 LB(G) を lattice (束) バーンサイド環という。LB(G) から定まる有理数係数の Q-代数 QLB(G) の原始的べき等元公式が知られている。QLB(G) の原始的べき等元は LB(G) の単数と密接に関係している。そこで LB(G) の単数群の性質を研究した。LB(G) は抽象バーンサイド環であり、LB(G) を含むゴースト環 Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件が知られている。これを LB(G) の単数に関する規準という。それはバーンサイド環の単数に関する吉田の規準の一般化であり、バーンサイド環の単数群の研究が応用できた。具体的には以下の通りである。まず、QLB(G) の原始的べき等元に対応する Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件を示し、その場合の LB(G) の単数の公式を得た。さらに、この結果に関連する、G と L に対して定まる element と呼ばれる対象の集合における、ある同値関係を定義し、LB(G) の単数に関する規準を用いて、LB(G) の単数群の直積分解を与えた。これは、バーンサイド環の単数群の性質の一般化である。この結果により、具体的な有限群 G に対する LB(G) の単数群を容易に決定できるようになった。４次対称群や５次対称群で、具体例を与えた。

对于 G 格 L（有限群 G 的 Burnside 代数的推广），存在一组非空子格 L(H)，G 的每个子群 H 和 L 的 H 都在其上作用。 (G) 定义的群范畴称为格子伯恩赛德环。具有由 LB(G) 确定的有理系数的 Q 代数 QLB(G) 的原始幂等公式是已知的。 QLB(G)的本原幂等元与LB(G)的奇异性密切相关。因此，我们研究了奇异群LB(G)的性质。 LB(G)是抽象的Burnside环，已知包含LB(G)的鬼环Gh(G)的奇点是LB(G)的奇点的充要条件。这称为 LB(G) 奇异性准则。它是吉田Burnside环奇异数判据的推广，适用于Burnside环奇异群的研究。具体而言，详细如下。首先，我们给出对应于QLB(G)的本原幂等元的Gh(G)的奇异数是LB(G)的奇异数的充要条件，以及奇异数的公式在这种情况下，LB(G) 明白了。此外，与这个结果相关，我们在为G和L确定的称为元素的对象集合中定义了一定的等价关系，并且使用关于LB(G)的奇异性的准则，我们可以定义LB(G)的奇异群给出了直接产物分解。这是伯恩赛德代数奇异群性质的推广。这个结果使得很容易确定具体有限群 G 的 LB(G) 的奇异群。使用四阶对称群和五阶对称群给出了具体例子。