バーンサイド環の一般化とその乗法的性質の研究

Burnside 环的推广及其乘法性质的研究

• 批准号: 22K03242
• 负责人: 竹ケ原 裕元
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Muroran Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03242/
• 关键词: バーンサイド環; 束; べき等元; 単数群; 有限群; テンソル誘導写像

有限群 G のバーンサイド環の一般化である、G-lattice L に対して、G の各部分群 H と L の H が自明に作用する空でない sublattice (部分束) L(H) の組の族がなす圏で定義されるグロタンディック環 LB(G) を lattice (束) バーンサイド環という。LB(G) から定まる有理数係数の Q-代数 QLB(G) の原始的べき等元公式が知られている。QLB(G) の原始的べき等元は LB(G) の単数と密接に関係している。そこで LB(G) の単数群の性質を研究した。LB(G) は抽象バーンサイド環であり、LB(G) を含むゴースト環 Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件が知られている。これを LB(G) の単数に関する規準という。それはバーンサイド環の単数に関する吉田の規準の一般化であり、バーンサイド環の単数群の研究が応用できた。具体的には以下の通りである。まず、QLB(G) の原始的べき等元に対応する Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件を示し、その場合の LB(G) の単数の公式を得た。さらに、この結果に関連する、G と L に対して定まる element と呼ばれる対象の集合における、ある同値関係を定義し、LB(G) の単数に関する規準を用いて、LB(G) の単数群の直積分解を与えた。これは、バーンサイド環の単数群の性質の一般化である。この結果により、具体的な有限群 G に対する LB(G) の単数群を容易に決定できるようになった。４次対称群や５次対称群で、具体例を与えた。

对于G-lattice L，有限G组的伯恩赛环的概括是由非空的sublattice（部分捆绑包）l（h）家族定义的glottendic环lb（g），其中g的每个亚组H和l的H的H是晶格（捆绑）burnside burnside burnide burnide ring。已知的Q-Algebra QLB（G）的原始能力公式已知。 QLB（g）的原始能与LB（G）的单数密切相关。因此，我们研究了LB（G）奇异群的性质。 Lb（g）是一个抽象的伯恩赛环，对于包含lb（g）的幽灵环GH（g）的奇异性是LB（g）的奇异性。这称为LB（G）的单数标准。这是吉田关于伯恩赛环奇异性的标准的概括，对伯恩赛环的奇异性的研究适用。具体而言，以下内容如下。首先，我们提出了与QLB（G）的原始性相对应为LB（G）的奇异性相对应的GH（G）的必要条件，在这种情况下，我们获得了Lb（G）的单数公式。此外，我们在一组称为元素的对象中定义了一定的等效关系，这些对象是针对G和L定义的，它们与该结果相关，并使用LB（G）的单数标准对LB（G）单数组的直接产物分解。这是对伯恩赛环的奇异群体本质的概括。该结果使得针对特定有限组G的奇异LB（G）很容易。给出了针对二次和5滴答对称组的特定示例。