クラスター代数の圏論化と歪対称化可能な場合への拡張

簇代数的范畴理论化和可斜对称情况的推广

• 批准号: 10F00723
• 负责人: 伊山 修
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2012
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10F00723/
• 关键词: ポテンシャル付き箙; 団(クラスター)代数; 変異; 圏論化; 団(クラスター)傾加群; 三角圏; 整環; 三角形分割; 前射影多元環; ホップモナド; 同変圏; 2カラビ・ヤウ三角圏; 団(クラスター)傾対象; ポテンシャル付き箙(クイバー); 2-Calabi-Yau圏; ねじれ群環; (半)標準基底; 団(クラスター)圏

2012年度の特別研究員の主要な研究テーマは、ポテンシャル付き箙(クイバー)の「複数頂点における変異」である。Derksen-Weyman-Zelevinskyは、ポテンシャル付き箙の(一つの頂点における)変異を導入し、団(クラスター)代数の圏論化に応用した。ポテンシャル付き箙の変異は非常に初等的な操作であるが、ある種の2カラビ・ヤウ三角圏における団傾対象の圏論的変異による自己準同型環の変化の記述をも与える。ゆえにポテンシャル付き箙の「一頂点における変異」を一般化した「複数頂点における変異」を定式化することは、団代数や団傾対象全体の持つ組み合わせ論的構造のより良い理解につながる重要な研究テーマである。これに対して特別研究員は「複数頂点における変異」の定式化を与えており、さらに団傾対象の圏論的変異との互換性を、ポテンシャル付き箙がある種の最長緑列を持つ場合に示した。またポテンシャル付き箙が曲面の三角形分割から生じる場合に対しては、組み合わせ論的観点から期待される結果と一致することも確かめた。特別研究員の与えた定式化は、箙の部分に関しては最終的なものであると思われるが、ポテンシャルの部分に関してはさらなる考察が必要であると思われる。研究員は以上の研究成果に関して、ビーレフェルト大学で開かれた「Workshop and International Conferepce on Representations of Algebras(ICRA 2012)」および信州大学で開かれた「45th Symposium on Ring Theory and Representation Theory」での講演において公表を行った。特別研究員はさらに、曲面の三角形分割に対してLuoが導入した「ポテンシャル付き氷箙」のヤコビ多元環を調べた。特別な場合に、ヤコビ多元環が1変数多項式環上の整環となることを証明した。さらにヤコビ多元環のある特定の部分整環の団(クラスター)傾加群の全体と、三角形分割の全体の間に一対一対応が存在することを証明した。

特约研究员2012年的主要研究主题是潜力箭袋的“多顶点突变”。 Derksen-Weyman-Zelevinsky 引入了一种具有势的箭袋变体（在一个顶点），并将其应用于簇代数的范畴理论。虽然带势箭袋的变异是一个非常初级的运算，但它也提供了对某类2-Calabi-Yau三角范畴中群倾斜物体由于范畴论变异而导致的自同态环变化的描述。因此，提出“多顶点变异”，即具有势的箭袋“单顶点变异”的推广，是一项重要的研究，将有助于更好地理解群代数和群的组合结构。倾斜物体作为一个整体。对此，专门研究人员给出了“多顶点变异”的表述，并且在具有势的箭袋具有某种最长的情况下，显示了与群体倾斜物体的范畴论变异的兼容性。显示绿色字符串。我们还证实，当表面三角测量产生潜在颤动时，结果与组合角度的预期相符。对于箭袋部分，特约研究员给出的表述似乎是最终的，但对于潜在部分，似乎还需要进一步考虑。研究人员在比勒菲尔德大学举办的“代数表示研讨会和国际会议（ICRA 2012）”以及信州大学举办的“第45届环理论和表示论研讨会”的讲座中公布了上述研究成果。特别研究人员还研究了罗为曲面三角测量引入的“势假设”的雅可比代数。在一种特殊情况下，我们证明雅可比代数是一个变量的多项式环上的代数。此外，我们证明了雅可比代数的特定子代数的整个梯度群与整个三角剖分之间存在一一对应关系。

项目成果

Example of categorification of a cluster algebra

簇代数的分类示例

• 发表时间: 2012
• 期刊: 第44回環論および表現論シンポジウム報告集
• 作者: Laurent Demonet;Yu Liu;Laurent Demonet
• 通讯作者: Laurent Demonet

Mutations of quiver with potential at several vertices

在多个顶点具有潜力的箭袋突变

• 发表时间: 2012
• 作者: A.Ceklovsky;S.Takagi;J.Bujdak;Demonet Laurent
• 通讯作者: Demonet Laurent

Categorification of cluster algebra structures of coordinate rings of Grassmanian varieties through representations of preprojective algebras

通过预投影代数的表示对格拉斯曼簇坐标环的簇代数结构进行分类

• 发表时间: 2012
• 作者: Shinsuke Takagi;Saki Konno;Yohei Ishida;Alexander Ceklovsky;Dai Masui;Tetsuya Shimada;Hiroshi Tachibana;Haruo Inoue;Demonet Laurent;Demonet Laurent
• 通讯作者: Demonet Laurent

Quotients of exact categories by cluster tilting subcategories as module categories

• DOI: 10.1016/j.jpaa.2013.03.007
• 发表时间: 2012-08
• 期刊: Journal of Pure and Applied Algebra
• 影响因子: 0.8
• 作者: Laurent Demonet;Y. Liu

Total positivity, cluster algebras and categorification

总体积极性、簇代数和分类

• 发表时间: 2010
• 作者: Shinsuke Takagi;Saki Konno;Yohei Ishida;Alexander Ceklovsky;Dai Masui;Tetsuya Shimada;Hiroshi Tachibana;Haruo Inoue;Demonet Laurent;Demonet Laurent;Demanet Laurent;Demonet Laurent;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet;Laurent Demonet
• 通讯作者: Laurent Demonet