ウェブ図の代数的研究

网络图的代数研究

• 批准号: 11874007
• 负责人: 村上 順
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Waseda University (2001)Osaka University (1999-2000)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11874007/
• 关键词: 3次元多様体; 結び目; 量子不変量; 体積予想; ウェブ図; ヤコビ図; 結び目理論; 3次元多様化; 表現論; 可解リー環; 絡み目; 有限型不変量; 双曲幾何; 体積

本年は京都大学数理解析研究所でプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」が行われ,組織委員の一人として参加した。テーマの一つとして量子不変量があげられており,内外の多数の研究者が集まって活発に交流が行われ,本研究にも多大の貢献があった。本年の成果をまとめると次のようになる。1.代数的側面についてプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」に参加したD.Thurstonは,ウェブ図のなす代数系に対して「微分」(derivation)を導入し,自明な結び目に対応する元についての非常に基本的な表記法を得た。また,これに附随してこの代数の二種類の積構造から定義される二種類の環構造についての同型対応を構成した。これについて京都大学数理解析研究所での短期共同研究「多重ゼータ値の諸相」で紹介し,その際に,多重ゼータ値の研究でのシャッフル積と調和積の間の関係と対応することが明かとなった。これを受け,多重ゼータ値の理論との関係について研究を開始した。また,「21世紀の低次元トポロジー」の参加者とウェブ図のなす代数系の呼称について話し合い,今後はヤコビ(Jacobi)図と呼ぶことで合意した。2.幾何的側面についてウェブ図と深く関係する量子不変量に対し,「体積予想」と呼ばれる問題がある。これは双曲構造が入る3次元多様体に対し,その体積が量子不変量からある方法で決まるのではないかという予想である。量子不変量には様々な側面があるが,量子6j-記号と呼ばれるものに注目し,体積予想から推察して双曲四面体の体積が量子6j-記号から得られると考え,研究を進めた結果,双曲四面体の体積を表す新たな公式を得た。

今年，“21世纪的低维拓扑”项目在京都大学数学科学研究所举行，我作为组委会成员之一参加了。量子不变量作为主题之一提出，国内外众多研究人员齐聚一堂，积极互动，为这项研究做出了巨大贡献。今年的成果可总结如下。 1.关于代数方面 D.Thurston参与了“21世纪的低维拓扑”项目，将“推导”引入到由Web图形成的代数系统中，并研究了与琐碎结相对应的元素我得到了 的一个非常基本的符号。此外，我们还为根据该代数的两种类型的乘积结构定义的两种类型的环结构构建了同构对应关系。我们在京都大学数学科学研究所的“多zeta值的方面”的短期合作研究中引入了这一点，当时清楚地表明它对应于随机乘积和调和乘积之间的关系。对多个 zeta 值的研究成为了一件事情。针对这一点，我们开始研究与多重zeta值理论的关系。我们还与“21世纪低维拓扑”的参与者讨论了Web图创建的代数系统的名称，并同意从现在起将其称为雅可比图。 2. 关于几何方面，有一个关于与Web图密切相关的量子不变量的“体积猜想”问题。这是一个猜想，对于包含双曲结构的三维流形，其体积由量子不变量以某种方式确定。虽然量子不变量有很多方面，但我们关注的是所谓的量子 6j 符号，并通过体积猜想推断双曲四面体的体积可以从量子 6j 符号 As 获得，从而继续我们的研究。结果，我们得到了一个新的公式来表达双曲四面体的体积。

项目成果

村上順: "結び目と量子群"朝倉書店. 180 (2000)

村上淳：《结与量子群》朝仓书店 180 (2000)。

H.Murakami,J.Murakami: "The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot"Acta Mathematica. (発表予定).

H.Murakami，J.Murakami：“有色琼斯多项式和结的单纯体积”数学学报（待提交）。

Thang T.Q.Le 他: "A three-manifold invariant via Kontsevich integral"Osaka Journal of Mathematics. 36・2. 365-396 (1999)

Thang T.Q.Le 等：“通过 Kontsevich 积分的三流形不变量”Osaka Journal of Mathematics 36・2 (1999)。

H.Murakami, J.Murakami: "The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot"Acta Mathematica. 186. 85-104 (2001)

H.Murakami，J.Murakami：“有色琼斯多项式和结的单纯体积”数学学报。

大槻知忠 他: "量子不変量:3次元トボロジーと数理物理の遭遇"日本評論社. 152 (1999)

Tomotada Otsuki 等人：“量子不变量：三维拓扑学与数学物理学之间的相遇”Nippon Hyoronsha 152 (1999)。