線叢の幾何にあらわれる非線形可積分系の研究

线丛几何中非线性可积系统的研究

• 批准号: 08211243
• 负责人: 佐々木 武
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-08211243/
• 关键词: 線叢; 焦曲面; ラプラス交換; 射影微分幾何; 非線形可積分系

1.線叢は3次元射影空間内の直線の2次元族のことである。方程式論的には2変数2未知関数の階数4の斉次線形方程式系と考えてよい。その同値問題はパラメータ空間上の平坦射影接続に帰着して解かれる。これによって、微分不変量を特定することが出来る。線叢は一般に2つの焦曲面を持ち、焦曲面の間の対応を与えている。従って、曲面のラプラス変換は線叢の立場から考えることが出来る。この歴史は古く、G.Darbouxの曲面論の本にはさまざまの扱いがなされているし、また、射影微分幾何の好個の題材であり、多数の研究が前世紀以来行なわれてきた。2.線叢は非線形可積分系の見地からしても豊かな内容を持っている。典型的な方程式は戸田方程式、sinh-Gordon方程式である。幾何学的な対象として重要なものは射影極小曲面である。我々の見地からの過去の成果の整理はまだ行なわれていない。3.この研究では、射影微分幾何のformulationを整理して、このような見地から線叢を見直すことを行なった。関連する話題を含めて、「超幾何系E(k,n)の定める写像について」(東工大,1996年6月3日),「常微分方程式の幾何-やさしい射影微分幾何」(東工大,1996年6月4-7日),「アファイン曲線について」(奈良女子大学,1996年11月11-15日),「射影微分幾何学の問題」(福岡大学,1996年11月20日),「Two topics on affine curves」(東北大学,1996年12月17日),「線叢の幾何」(北海道大学,1997年1月21日)の講演を行なった。これらの講演及びこれまでの講義を基に"On line congruence and Laplace transformation"にまとめている。

1. 线丛是三维射影空间中的二维直线族。从方程论的角度来看，它可以被认为是一个具有两个变量和两个未知函数的 4 阶齐次线性方程组。等价问题通过将其简化为参数空间上的平面射影连接来解决。这允许指定微分不变量。线丛通常具有两个焦面，给出焦面之间的对应关系。因此，曲面的拉普拉斯变换可以从线丛的角度来考虑。它有着悠久的历史，在G. Darboux的曲面论著作中也有不同的论述。它也是射影微分几何的热门学科，从上个世纪开始就进行了大量的研究。 2.从非线性可积系统的角度来看，线丛具有丰富的内容。典型的方程是 Toda 方程和 sinh-Gordon 方程。一个重要的几何对象是最小投影面。从我们的角度来看，对过去结果的审查尚未进行。 3. 在本研究中，我们组织了射影微分几何的表述，并从这个角度重新考虑了线丛。相关主题包括“论超几何系统 E(k,n) 确定的映射”（东京工业大学，1996 年 6 月 3 日）、“常微分方程的几何 - 简易射影微分几何”（东京工业大学，1996 年） 1996年6月4-7日），“关于仿射曲线”（奈良女子大学，1996年11月11-15日），“射影微分几何问题”（福冈大学，1996年11月20日），“二他发表了关于“仿射曲线主题”（东北大学，1996年12月17日）和“线丛几何”（北海道大学，1997年1月21日）的讲座。根据这些讲座和以前的讲座，我在《在线同余与拉普拉斯变换》中进行了总结。

项目成果

T.Sasaki: "Sectional curvature of projective invariant metrics on a strictly convex domain" Tokyo Journal of Mathematics. 19-1. 419-433 (1996)

T.Sasaki：“严格凸域上射影不变度量的截面曲率”《东京数学杂志》。

K.Matsumoto: "On the system of differential equations associated with a quadric and hyperplanes" Kyushu Journal of Mathematics. 50-1. 93-131 (1996)

K.Matsumoto：“关于与二次二次和超平面相关的微分方程组”九州数学杂志。

T.Sasaki: "On the rigidity of differential systems modelled on hermitian symmetric spaces and disproofs of a conjecture。。。" Adv.Studies in pure Mathematics. (to appear). (1997)

T.Sasaki：“关于以厄米对称空间为模型的微分系统的刚性以及对猜想的反证……”纯数学高级研究（即将出版）。