「非適切問題における適切クラスの決定と積分方程式を利用した非適切問題の数値解析」

“确定不适当问题的适当类别以及使用积分方程对不适当问题进行数值分析”

• 批准号: 08874009
• 负责人: 磯 祐介
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08874009/
• 关键词: 逆問題; 非適切問題; 偏微分方程式; 境界積分方程式法; 数値解析; 多倍長計算; 安定性理論; 境界要素法; 積分方程式法; 解析函数; 差分法

Helmholtz方程式で記述される逆散乱問題を中心に解析を行なった。R.Kressの手法に従えば、Helmholtz方程式で記述される音場の未知散乱物体を決定する逆問題は、境界積分方程式によって記述されることが知られている。この積分方程式にたいし、これまではTikhonov正則化法を利用する数値解析が行われてきた。これに対し、本研究ではこの非適切問題のいわゆる適切成分を考慮して、多倍長数値計算を利用して直接計算を行うことを試み、成果を得ている。一般に非適切問題は、いわゆる高周波成分に対知るSobolevノルムでの評価が不可能であることがその非適切性であり、これは数値計算上での丸め誤差に対する不安定性を意味するものである。しかし、見方を変えて与えるデータ構造を制限すれば適切化される非適切問題も多い。本研究ではこの点に目をつけ、一般には非適切な問題の適切成分を調べ、そこへの制限を伴った数値計算によって安定した数値計算を行うことを試みた。しかし、実際の数値計算では丸め誤差が伴うために理論通の計算を行うことは容易ではない。本研究ではこの部分を多倍長計算という手法にたより、理論の計算機での実現について検討を行った。理論的には適切成分と言えども多倍長計算にのみ頼って計算を行うことは不可能であるが、本研究で扱った程度の逆散乱問題ではそれなりに精度が出ることが示された。さらに、この研究を通して、順問題(通常の楕円型境界値問題など)に対する数値解析に境界要素法を利用する利点も分かった。すなわち、これまでの境界要素法研究で主張されている境界要素法の高精度性が、本研究の非適切問題の解析を通して示された。

分析主要是在Helmholtz方程描述的反向散射问题上进行的。根据R. kress技术，已知helmholtz方程描述的声场的未知散射对象的反问题已知由边界积分方程描述。到目前为止，已经使用Tikhonov正则化方法对此积分方程进行了数值分析。相比之下，这项研究试图使用多个长度数值计算直接执行计算，并考虑到所谓的此不适当问题的适当组成部分，并取得了结果。通常，一个不合适的问题是，不可能评估所谓的高频组件的Sobolev规范，这意味着在数值计算中舍入错误的不稳定。但是，如果我们更改看到它的方式并限制给出的数据结构，则可以使用许多不适当的问题。这项研究的重点是这一点，并试图研究通常不合适的问题的适当组成部分，并通过数值计算进行稳定的数值计算，并限制它们。但是，实际的数值计算涉及四舍五入错误，因此进行基于理论的计算并不容易。在这项研究中，我们使用本节使用计算机使用一种称为多长度计算的方法来研究理论的实现。尽管理论上是合适的组件，但不可能仅依靠多个长度计算执行计算，但是已经表明，逆散射问题（这是本研究的程度）可以提供合理的准确性。此外，这项研究还揭示了使用边界元素方法进行正向问题的数值分析的优势（例如通常的椭圆边界值问题）。换句话说，在先前的边界元素方法研究中声称，边界元素方法的高精度是通过分析本研究的不适当问题来证明的。

项目成果

磯 祐介 他: "熱方程式の逆問題-初期逆数の台の決定" 応用数理学会論文誌. vol.8. 19-23 (1998)

Yusuke Iso 等人：“热方程的反问题 - 初始互易平台的确定”应用数学学会汇刊，第 8 卷（1998 年）。