Effective use of multi-precision arithmetic on floating number system of digital computers aiming at numerical computations of differential equations with singulari or ill-posedness

针对奇异或不适定微分方程的数值计算，有效利用数字计算机浮点数系统的多精度运算

• 批准号: 21H00999
• 负责人: 磯 祐介
• 金额: $ 10.48万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00999/
• 关键词: 数値解析学; 多倍長数値計算; 逆問題・非適切問題解析; ひかりトモグラフィ; 流体・弾性体方程式の解の特異性; 数値解析学; 多倍長数値計算; 逆問題・非適切問題解析; ひかりトモグラフィ; 流体・弾性体方程式の解の特異性

本課題研究では、主として現象の数理モデルとしての偏微分方程式の数値解析と数学解析を論じている。偏微分方程式の数学解析では、解の有する特異性や不安定性をどのように正則化するかが純粋数学としては重要な論点であり、このために様々な概念が提唱され、また種々の函数空間が導入される。一方で、現象の数理モデルとしての微分方程式の議論においては、特異性は単に正則化されるべき「特異」な挙動と考えることは慎重で有らねばならない。実際、解の特異性や不安定性は対象とする系・現象の重要な物理量などと関連している場合が散見され、この特異性を定量的に論じることが重要となる事例も少なくない。しかし解の「特異性」は数値計算の発散や不安定性と表裏一体であるため、特異性を定量的に論じることはきわめて困難である。既存の理論の単純適用では、特異性を定量的に数値計算によって扱うことはきわめて困難である。本課題研究ではこのような問題意識と現状認識の下で、研究代表者と分担者の過去の研究実績を踏まえて、代表者と分担者が分業によって幾つかの具体的な問題に限定的に取組、数学解析に裏付けられた数値計算法を新たに確立することによって特異性の定量的な議論を行なおうとしている。２年度は初年度に引き続き１階双曲型方程式の有限要素法解析について成果を得、先行研究を超えたシャープな収束評価を与えるに至った。逆問題解析については医用断層撮影の数値解析にかかる国際共同研究の推進を図った。さらにポテンシャル逆問題を再考し、Zidarov による bubbling アルゴリズムの再検討を行いこの手法の有効性の検証を行った。

这项研究主要讨论了部分微分方程作为现象模型的数值和数学分析。在偏微分方程的数学分析中，如何使解决方案的奇异性和不稳定性正常是纯数学的重要点，并且已经提出了各种概念并引入了各种函数空间。另一方面，在将微分方程作为现象的数学模型的讨论中，必须谨慎地将奇异性视为应该正规化的“奇异”行为。实际上，在许多情况下，解决方案的特异性和不稳定性与目标系统和现象的重要物理量有关，并且在许多情况下，重要的是要定量讨论这种特异性。但是，由于解决方案的“单一性”是硬币的两个侧面，具有数值计算的差异和不稳定性，因此很难定量讨论单身性。通过简单地应用现有理论，很难通过数值计算来定量处理特异性。鉴于对问题和对当前情况的认识的认识，这项研究旨在通过限制主要研究者的努力和劳动分工来以有限的方式解决几个特定问题，并建立由数学分析支持的新数值计算方法来进行定量讨论。在2018财年的第一年中，我们获得了一阶双曲方程的有限元分析的结果，从而导致了超过先前研究的急剧收敛评估。关于反问题分析，我们促进了医学断层扫描数值分析的国际联合研究。此外，重新考虑了潜在的反问题，齐达罗夫重新审查了气泡算法以验证该方法的有效性。