接触ホモロジーの計算手段の開発とオープンブック分解

接触同调和开卷分解计算方法的开发

• 批准号: 07F07804
• 负责人: 小野 薫
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07F07804/
• 关键词: 接触構造; 接触ホモロジー; オープンブック分解; 正則曲線; Legendrian部分多様体; symplectic多様体; 接触トポロジー; open book構造; Legendre絡み目; Stein多様体; 手術

Otto van Koertは外国人特別研究員として接触トポロジーの研究に従事した。来日前からFrederic Bourgeois氏と接触ホモロジーについて共同研究をしていたが、それを継続し、接触多様体の連結和に対してcylindricalな接触ホモロジーの完全系列が得られることや、代数的過旋性という概念を導入し、実際にその条件を満たす接触多様体の構成を行った。3次元接触多様体はtightなものと過旋(overtwisted)なものとに分かれる。3次元接触トポロジーでは埋め込まれた曲面、特に円盤に誘導される特異点をもつ分布(特性葉層)を調べることが重要である。高次元ではtight,過旋に当たるものあるのかどうかは興味ある問題で、代数的過旋性は接触ホモロジーを用いた試みといえる。これらの研究では、接触多様体を境界に持つsymplectic多様体内の正則曲線の挙動を調べることが鍵となる。特に、接触多様体内のLegendrian部分多様体へhandleを付けて得られるsymplectic多様体を考察する際、正則曲線がhandleのコアを避けるかどうかを決定することが重要であった。また、接触多様体はオープンブック分解とよばれる記述ができる。オープンブック分解の立場から接触ホモロジーにかかわる正則曲線の理解をすることも重要で、部分的な結果を得ている。接触構造は局所的な標準形(Darboux球体近傍)を持つ。与えられた接触多様体がいくつのDarboux球体近傍で覆われるかの最小値を求めることは素朴な問題である。Yuri Chekanov, Felix Schlenk両氏との共同研究で、3次元多様体の場合にはこの数を決定し、また高次元の場合には、この数が次元+1を超えないことを示した。5次元接触多様体のオープンブック分解のpageは3次元多様体となるので、Kirby図式を用いた記述ができる。Monodromyが自明となるオープンブック分解で得られる5次元接触多様体について、Fan Ding, Hansjoerg Geigesの両氏と共同研究を行い、そのような多様体の分類を得た。

奥托·范·科特（Otto van Koert）曾在接触拓扑研究中担任外国研究人员。在访问日本之前，他一直在与弗雷德里克资产阶级进行联系同源性研究，并继续这件事，并介绍了代数过度病的概念，他实际上履行了这种情况。三维接触歧管被分为紧密而越过。在三维接触拓扑中，重要的是研究嵌入的表面，尤其是圆盘中诱导的奇异性的分布（形状叶片）。这是一个有趣的问题，是较高的紧密度还是过度控制，并且可以说代数过度控制是使用触点同源性的尝试。在这些研究中，关键是要检查由接触歧管界定的符号歧管中规则曲线的行为。特别是，当考虑通过将手柄连接到触点歧管内的Legendrian Submanifolds获得的符号歧管时，重要的是确定常规曲线是否避免避免手柄的核心。另外，接触歧管可以描述为开放式书籍分解。从开放式书籍分解的角度了解接触同源性涉及的规则曲线也很重要，并获得了部分结果。接触结构具有当地标准形状（靠近Darboux球体）。找到最小值的最小值darboux球由给定的接触歧管覆盖。在与Yuri Chekanov和Felix Schlenk的联合研究中，我们确定了三维流形的数字，并表明在较高维度的情况下，该数字不超过维度+1。 5维触点歧管的开放式书籍分解是3维流形，因此可以使用柯比图进行描述。 Monodromy对通过自我解释的开放式书籍分解获得的五维接触歧管进行了粉丝ding和Hansjoerg Geiges进行联合研究，并获得了此类歧管的分类。

项目成果

Introduction to contact topology and convex surface theory

接触拓扑和凸面理论简介

• 发表时间: 2009
• 作者: Yuri Chekanov;Otto van Koert;Felix Schlenk;Otto van Koert;Otto van Koert;K. Niederdruger and O. van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert
• 通讯作者: Otto van Koert

Minimal atlases of closed contact manifolds

闭式接触流形最小图集

• 发表时间: 2009
• 期刊: CRM Proceedings and Lecture Notes 49
• 作者: Y.Chekanov;O.van Koert;F.Schlenk
• 通讯作者: F.Schlenk

Contact homology of Brieskorn manifolds

Brieskorn 流形的接触同调

• 发表时间: 2008
• 期刊: Forum Mathematicum 20
• 作者: Yuri Chekanov;Otto van Koert;Felix Schlenk;Otto van Koert
• 通讯作者: Otto van Koert

Contact homology and connected sums

联系同调和连通和

• 发表时间: 2008
• 作者: Yuri Chekanov;Otto van Koert;Felix Schlenk;Otto van Koert;Otto van Koert;K. Niederdruger and O. van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert;Otto van Koert
• 通讯作者: Otto van Koert

Open books on contact five-manifolds

• DOI: 10.5802/aif.2347
• 发表时间: 2006-02
• 期刊: Annales de l'Institut Fourier
• 作者: O. Koert