多様体上の種々の幾何構造と大域解析の研究

流形上的各种几何结构及全局分析研究

• 批准号: 08640093
• 负责人: 小野 薫
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Ochanomizu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640093/
• 关键词: シンプレクティック構造; J-正則曲線; フロア-・ホモロジー; グロモフ・ウィッテン不変量; サイバーグ・ウィッテン不変量; ラグランジュ部分多様体

シンプレクティック多様体の構造を調べる為にJ-正則曲線特にJ-正則有理曲線が有効である事が近年の研究で明らかになってきている。Seiberg-Witten不変量が0でない時、対応してJ-正則曲線が存在するというTaubesの結果を用いて、名古屋大学の太田啓史氏と共に、私は、4次元シンプレクティック多様体がある種の正値性を持つと、それは、有理曲線又は線織曲面になるという結果を得、それを論文として出版する事ができた。我々は、その後ある種の3次元接触多様体についてもその議論に似た方法で情報を得る手掛りを得た。詳しくはこれからの研究で明らかにされるであろう。シンプレクティック多様体の中のJ-正則曲線を数え上げる話は、Gromov-Witten不変量の理論と呼ばれている。考えているシンプレクティック多様体が半正値という条件を満たすときは、Ruan-Tianが数学的な定義、基本的性質を確立していたが、一般の場合は定義もなかった。京都大学の深谷賢治氏との共同研究で、一般の場合のGromov-Witten不変量の定義及び基本的性質を満たすことの証明を与えることができた。ここでは、有限群の対称性を持つフレッドホルム写像を如何に横断的にするかという問題を多価の摂動という考えで乗り越えた。論文は投稿中である。また、この論文で一般の閉シンプレクティック多様体上の周期的ハミルトン系に対するフロア-、ホモロジーもこの方法を用いて定義・計算することができ、ア-ノルドによる予想を弱い形ながら示すことができた。

最近的研究表明，J-正则曲线，特别是J-正则有理曲线，对于研究辛流形的结构是有效的。利用Taubes的结果，即当Seiberg-Witten不变量非零时，存在相应的J-正则曲线，我与名古屋大学的Keishi Ota一起证明了4维辛流形是一种如果它有正则值，我们得到了它变成有理曲线或线性曲面的结果，并且我们能够将这个结果作为论文发表。后来我们使用与该论证类似的方法获得了有关某些 3D 接触流形的信息。细节将在未来的研究中阐明。计算辛流形中的 J 正则曲线的故事称为 Gromov-Witten 不变量理论。当所考虑的辛簇满足正半值条件时，阮田建立了数学定义和基本性质，但在一般情况下没有定义。通过与京都大学的 Kenji Fukaya 的联合研究，我们能够定义一般情况下的 Gromov-Witten 不变量，并提供其满足其基本性质的证据。在这里，我们克服了如何利用多价扰动的思想来横切具有有限群对称性的 Fredholm 映射的问题。目前论文正在提交中。另外，本文中可以使用该方法定义和计算一般闭辛流形上的周期哈密顿系统的底同调，并且阿诺德猜想可以以弱形式表示。

项目成果

Le Hong Van,Kaoru Ono: "Perturbation of pseudo-holomorphic curves" International Journal of Mathematics. 7・6. 771-774 (1996)

Le Hong Van，Kaoru Ono：“伪全纯曲线的扰动”国际数学杂志 7・6（1996）。

Le Hong Van,Kaoru Ono: "Cup-length estimates for symplectic fixed points" "Contact and Symplectic Geometry"Ed.by C.B. Thomas. 268-295 (1996)

Le Hong Van、Kaoru Ono：“辛不动点的杯长估计”“接触与辛几何”Ed.，作者：C.B. Thomas。

Hiroshi Ohta,Kaoru Ono: "Notes on symplectic 4-manifolds with b^+_2=1" "Moduli of vector bundles" Lecture Notes Pure Appl.Math.179. 179. 209-212 (1996)

Hiroshi Ohta、Kaoru Ono：“关于 b^ _2=1 的辛 4-流形的注释”“向量丛的模”讲义 Pure Appl.Math.179。

Kaoru Ono: "Lagurangian intersection under legendrian deformations" Duke Mathematical Journal. 85・1. 209-225 (1996)

Kaoru Ono：“传奇变形下的拉古朗日交集”杜克数学杂志 85・1（1996）。

Hiroshi Ohta,Kaoru Ono: "Notes on symplectic 4-manifolds with b^+_2=1 II" International Journal of Mathematics. 7・6. 755-770 (1996)

Hiroshi Ohta、Kaoru Ono：“关于 b^+_2=1 II 的辛 4 流形的注释”国际数学杂志 7・6（1996）。