強不定値汎函数の変分問題と閉道空間の幾何学

强不定值泛函和闭合路径几何的变分问题

• 批准号: 06740053
• 负责人: 小野 薫
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Ochanomizu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740053/
• 关键词: シンプレクティック多様体; J-正則写像; フロア-ホモロジー; ループ空間

シンプレクティック多様体上の周期的ハミルトン系に付随する作用汎函数は、強不定値即、ヘッシアンの正・負の固有値がともに無限個あるもので、これを扱う手法としてフロア-は今フロア-ホモロジーと呼ばれる理論を展開した。その適用範囲を広げたいというのが主な目標である.弱単調な場合を扱った論文を出版できる形にしたというのも一つの成果である.更に一般の閉シンプレクティック多様体への拡張を試みているが、これは未だ成功していない。今後の課題として残された.似た問題ではあるが、シンプレクティック多様体に埋め込まれたラグランジアン部分多様体の対に対してもフロア-ホモロジー理論がある。この場合ラグランジアン部分多様体のマスロフ指数が3以上であれば、計算はともかくフロア-ホモロジーの定義はなされていた。一方、完全ラグランジアン部分多様体(ボ-ア・ゾンマーフェルト軌道ともいわれる)のルジャンドル変形を行なうと、もとのラグランジアン部分多様体との交叉点の数がどのように下から抑えられるかというア-ノルドの問題に動機づけられ、シンプレクティック多様体の前量子化束の中でのラグランジアン部分多様体対に対するフロア-・ホモロジーを考えることとなった。私の出会った状況ではマスロフ指数が2となり、上で述べた一般論ではうまくゆかない,そこで零切断が概複素部分多様体である事に留意し、作用汎函数のグラディエントラインと零切断の交点数を定義し、これが0となるグラディエントラインのみを用いてフロア複体を構成する事に成功した。ある条件の下では計算もでき、前述のア-ノルドの問題に部分的ながら答えることができた。

与辛流形上的周期性哈密顿系统相关的作用函数具有很强的不确定值，即无限数量的正和负 Hessian 特征值，处理这个问题的方法是地板他开发了一种称为同调的理论。我们的主要目标是扩大其应用范围。我们的成就之一是能够发表一篇处理弱单调情况的论文。此外，我们将其扩展到一般闭辛流形我正在尝试这样做，但它。还没有工作。这留待将来的工作。虽然这是一个类似的问题，但对于嵌入辛流形中的拉格朗日子流形对也存在底同调理论。在这种情况下，如果拉格朗日子流形的马斯洛夫指数为3或更大，则无论计算如何，都定义了底板同调性。另一方面，当我们对完整的拉格朗日子流形（也称为玻尔-索末菲轨道）进行勒让德变形时，我们可以发现如何从下方抑制与原始拉格朗日子流形的交点数量。问题，我开始考虑预量化辛流形束中拉格朗日子流形对的底同调性。在我遇到的情况下，马斯洛夫指数为2，上面提到的一般理论不起作用。因此，记住零割是一个近似复杂的子流形，我们计算了作用泛函的梯度线的交点我们定义了一个点数并仅使用值为 0 的梯度线成功构建了一个楼层复合体。在某些条件下，可以进行计算并部分回答上述阿诺德的问题。

项目成果

Le Hong Van,Kaoru Ono: "Symplectic fixed points,the Calabi invariant and Novikov homology" Topology. 34. 155-176 (1995)

范乐红，小野薰：“辛不动点、卡拉比不变量和诺维科夫同调”拓扑。

Kaoru Ono: "On the Arnold conjecture for weakly monotone symplectic manifolds" Inventiones mathematicae. 119. 519-537 (1995)

Kaoru Ono：“关于弱单调辛流形的阿诺德猜想”数学发明。