工学・医学に現れる逆問題の数学解析及び数値解析

工程和医学中出现的反问题的数学和数值分析

基本信息

批准号：
13740063
负责人：
久保雅義
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

工学や医学など多くの分野と関連して現れる逆問題の解の構成に対する数学的研究は体系的には進んでおらず、様々な問題点が指摘されている.逆問題は数多くのケースで非線型で、ごく稀な場合を除いてその解を解析的に表示することが一般に不可能である.工学・医学での応用のために解の形状を具体的に目に見える形で得るには数値解析的手法に頼らざるを得ない。これに対し,逆問題のなかで医学的にも応用上も重要である,非侵襲的に脳内の活動を測定する問題を取り上げ,特に非侵襲的に脳内の神経細胞による(電気的な)発火活動の情報をとらえることを念頭において,作用素としてマックスウェル方程式を考え,その解の領域表面のデータから内部の電荷分布の時間的変化を決定する問題を考察した。境界データ込のCarleman評価を利用して一般の偏微分作用素に対する一意接続性定理は既に示していたが,作用素としては弾性体方程式に対しても同様のことが示すことができた.波動方程式の逆問題の解の一意性が示される範囲は、その作用素が一般に一意接続可能な範囲と同じであるがシステムの双曲型に対する逆問題の一意性はそのような結果が得られていなかった.また実用化を目指すために数値計算を行なうために数値計算法を設定し数値計算を行った.関連する問題として波動方程式の逆問題(非適切方向の場合)がありこれは,変数係数の低階項つきの波動方程式に対してcrltical timeでのexact controllabilityの問題とも関係があり重要な問題である.この制御問題は,その空間領域となる底面の直径に対して時間方向の長さが一致しているので通常の可制御性の問題と違いcrltical timeでのexact controllabilityを考えなくてはならないものとなっているので解に特異性が出ることがわかっている.この制御が可能ならば非適切方向の場合の波動方程式の逆問題(ラテラル方向)の解の一意性が示すことができた.またマックスウェル方程式に対してはポイント電荷の位置と電荷量を決める逆問題の解の一意性を一意接続性定理をもちいて示し,それに対する数値解法を提案し数値計算を行った.

对工程和医学等许多领域出现的逆问题解的构造的数学研究尚未系统地进展，并且指出各种问题是线性的，并且除了极少数情况之外一般不可能解析地表达解。为了以具体且可见的形式获得解的形状以供工程和医学应用，我们别无选择，只能依靠数值分析方法。另一方面，在反问题中，我们将讨论非侵入性测量大脑活动的问题，这在医学和应用中都很重要）为了捕获放电活动的信息，我们将麦克斯韦方程组视为一个数学模型。算子并考虑了根据其解区域表面上的数据确定内部电荷分布的时间变化的问题。我们已经使用包括边界数据的卡尔曼评估展示了一般偏微分算子的唯一连通性定理，但我们也能够展示弹性体方程与算子相同的反问题解的唯一性范围。所示的范围与其运算符通常唯一可连接的范围相同，但是对于双曲线型的反问题的唯一性，没有得到这样的结果。波动方程存在一个反问题（在方向不当的情况下），这对于带有低阶项变量的波动方程是至关重要的系数。这是一个重要的问题，因为它关系到时间上的精确可控性问题。这个控制问题在正常可控性中很难解决，因为时间方向上的长度与作为空间区域的底面的直径相同确切的问题和关键时间的差异。由于必须考虑可控性，因此已知解将具有奇异性。如果这种控制是可能的，那么在方向不合适的情况下，就有可能找到波动方程反问题（横向）的唯一解。另外，对于麦克斯韦方程组，我们利用唯一连通定理证明了确定点电荷位置和数量的反问题解的唯一性，并对其进行了数值解。