精度保証付き数値計算の前進---有限と無限をつなぐもの---

保证精度的数值计算进展---连接有限与无限---

基本信息

批准号：
21H01000
负责人：
渡部善隆
金额：
$ 10.98万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

・流体の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に特別な外力項を課したKolmogorov問題に対し、解の存在検証において重要な役割を果たす無限次元空間の最大値ノルムをほぼ最適に評価する手法を提案し、研究成果を公開した。また、得られた最大値ノルム評価を用いてKolmogorov問題の解の存在検証領域精度の大幅な改善に成功した。・2階楕円型作用素において得られた前年度の成果を拡張し、ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズム構築を行った。また、手法を4階楕円型作用素、非線形波動方程式から得られる特異性を持つ微分作用素を含め様々な線形作用素に適用し、その有効性を実証した。・2階楕円型線形作用素の可逆性の検証と逆作用素ノルムの精度保証付き評価に対する研究成果として、適切な仮定のもとで、逆作用素ノルムの有限次元一様近似が収束することを理論的に明らかにし、研究成果を公開した。また、具体的な収束オーダー評価および一般化への検討を行った。・Navier-Stokes方程式に関連したProudman-Johnson方程式に対し、解を包含する無限次元集合の射影に相当する有限次元部分を区間係数と基底関数の一次結合で表現することにより、精度保証付き数値計算を効率化した。また、Kolmogorov問題の最大値ノルム評価の知見を活かした効果的な最大値ノルム評価を定式化に組み込んだ。結果として、従来達成することができなかった高レイノルズ数における解の計算機援用証明に成功した。

- 对于Kolmogorov问题，它在Navier-Stokes方程式上施加了特殊的外力项，这是流体的基本方程式，我们提出了一种方法，几乎可以最佳地评估无限维空间的最大规范，该空间在验证解决方案的存在中起着重要作用，并发表了研究结果。此外，使用获得的最大规范评估，我们成功地成功地提高了解决方案对Kolmogorov问题的存在的准确性。 - 我们从上一年扩展了二阶椭圆运算符获得的结果，并以保证的准确性构建了一种新的数值计算算法，该算法验证了希尔伯特空间中在数学上精确的含义中希尔伯特空间中无限二维线性操作员的可逆性和逆操作员规范。此外，该方法应用于各种线性运算符，包括具有从非线性波方程获得的特异性的四阶椭圆运算符和差分运算符，并证明了其有效性。 - 作为验证二阶线性算子可逆性的研究结果，并具有保证准确性对逆操作员规范的评估，我们从理论上揭示了在适当假设下的有限操作员规范收敛的有限操作员均匀近似，并且已经发布了研究结果。此外，还进行了混凝土收敛顺序评估和概括。 - 对于与Navier-Stokes方程相关的Proudman-Johnson方程，通过表达有限尺寸部分，具有与Intervel系数和基础功能的线性组合相对应的有限尺寸部分，从而使具有准确性保证的数值计算具有更有效的效率。此外，利用Kolmogorov问题的最大规范评估的知识，还将有效的最大规范评估纳入了配方中。结果，在高雷诺数字上获得了计算机辅助的解决方案证明，这是以前无法实现的。