新たな段階に入った有限要素法基盤の精度保証付き数値計算の進展

有限元法精度保证数值计算进展进入新阶段

基本信息

批准号：
20H01820
负责人：
小林健太
金额：
$ 11.23万
依托单位：
Hitotsubashi University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

有限要素法の各手法の中で不連続ガレルキン法はよく用いられているが、通常の不連続ガレルキン法は、与えられたペナルティーパラメータを固定する場合、異方的なメッシュ上では不安定になる。それを回避するために、異方的な単体で成り立つトレース不等式を使って、新たな不連続ガレルキン法のスキームを提案した。さらに、新しい不連続ガレルキン法の誤差解析に関する定理を証明し、さらに数値実験でその正しさを確かめた。ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズムを提案し、その有効性を様々な微分作用素に対し実証した。また、Kolmogorov問題の精度保証付き数値計算を効率化するために必要な、ノルム定数の評価を大幅に改善した。3次元の流体方程式に対する精度保証付き数値計算は、必要とする計算量が膨大であるため困難であったが、効率的な検証スキームを開発することで、3次元定常Navier-Stokes方程式の検証に成功した。また、今後の研究において重要になると思われる、三角形要素上の補間誤差の最大値ノルムによる評価に成功した。時間発展する偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算理論を構築し、数値計算で得られた近似解の近傍に真の解が時間局所存在することを数値的に検証する計算機援用証明手法を提案した。応用例として、非線形熱方程式の複素時間領域における解のダイナミクスについて解析を行った。

尽管不连续的Gallerkin方法经常在有限元方法中使用，但是当固定给定的惩罚参数时，常规的不连续的Gallerkin方法在各向异性网格上变得不稳定。为了避免这种情况，我们提出了一种新的不连续的Gallerkin方法方案，使用痕量不等式，该方案是各向异性的，并由各向异性持有。此外，我们已经证明了对新不连续的Gallerkin方法的误差分析的定理，并使用数值实验验证其正确性。我们提出了一种新的数值计算算法，具有确保准确性，以验证希尔伯特空间中无限二维线性运算符的可逆性和逆操作员规范，并在严格的数学意义上证明了其对各种差异操作员的有效性。此外，我们已经显着改善了对标准常数的评估，这对于在Kolmogorov问题中可以保证准确性的数值计算是必不可少的。由于所需的大量计算，很难具有三维流体方程的保证准确性计算，但是通过开发有效的验证方案，我们成功地验证了三维稳态Navier-Stokes方程。此外，我们已经成功地评估了三角元素上插值误差的最大规范，这在未来的研究中可能很重要。我们提出了一种计算机辅助证明方法，该方法构建了数值计算理论，并保证了对偏移时间发展的偏微分方程的准确性，并在数值上验证了通过数值计算获得的近似解决方案附近存在的真实解决方案。作为应用，分析了非线性热方程的复杂时域中溶液的动力学。