非線形問題に対する高速・高精度数値計算及び精度保証に関する研究

非线性问题高速高精度数值计算及精度保证研究

基本信息

批准号：
01J03314
负责人：
小林健太
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J03314/
关键词：
精度保証数値的検証法 Nekrasov方程式解の大域的な一意性

项目摘要

我々は今年度においては、主として、Nekrasov方程式の正値解の大域的な一意性に対する数値的検証法に関する研究を行なった。水面波におけるある種の進行波の一意性を証明することは、Nekrasov方程式に対する正値解の一意性の証明に帰着することが知られている。一意性の証明は多くの水面波の研究者にとって40年来の未解決問題であったが、Nekrasov方程式に対し数値的検証法を用いることにより正値解の大域的な一意性の証明に成功した。本研究においては、精度保証付き数値計算を用いて反復により解の存在範囲を逐次評価し、ある程度解の存在範囲が限定されたところで縮小写像を評価するという手法を用いた。実際の計算においては計算速度を上げるため、浮動小数点の丸めの方向を制御することにより精度保証を実現している。この結果、3.009【less than or equal】μ【less than or equal】3.0092と3.3【less than or equal】μ【less than or equal】30の範囲について正値解の一意性を証明することができた。μ=3はこの方程式の分岐点になっており、分岐点近傍での数値計算は非常に困難であるが、その付近での検証にも成功した。加えて、μが3以上3.009以下の場合については正値解の一意性を解析的に証明した。精度保証付き数値計算を数学的な証明に用いている研究は、これまでにも多く報告されているが、それらの研究のほとんどは方程式の局所的な性質に関するものであり、本研究のように方程式の大域的な性質を証明した結果はほとんど知られていない。それだけに、数値的検証法によってNekrasov方程式の正値解の一意性が証明されたという結果は、それ自体が数学的に重要である上に、数値的検証法の有効範囲を拡張することが出来たという点においても非常に意味がある。

今年我们主要研究涅克拉索夫方程正解全局唯一性的数值验证方法。众所周知，证明水面波中某种行波的唯一性，就等于证明了涅克拉索夫方程正解的唯一性。证明唯一性一直是许多表面波研究人员40年来未解决的问题，但通过使用Nekrasov方程的数值验证方法，我们成功证明了正确解的全局唯一性。在本研究中，我们使用保证精度的数值计算，通过迭代来一一评估解的范围，然后当解的范围限制到一定程度时评估约简映射。在实际计算中，通过控制浮点舍入的方向来保证精度，以加快计算速度。由此，我们能够证明3.009【小于等于】μ【小于等于】3.0092和3.3【小于等于】μ【小于等于】30范围内正确答案的唯一性。。 μ=3是这个方程中的一个分支点，虽然分支点附近的数值计算极其困难，但我们也成功地验证了这个区域。此外，我们还分析证明了当μ大于等于3且小于等于3.009时正确答案的唯一性。据报道，许多研究使用保证精度的数值计算来进行数学证明，但这些研究大多数都关注方程的局部性质，而正如本研究所示，很少有结果可以证明方程的全局性质。因此，通过数值验证方法证明涅克拉索夫方程正确答案的唯一性这一结果不仅本身具有数学上的重要意义，而且在拓展数值验证方法的有效范围方面也是非常有意义的。。