非線形問題に対する高速・高精度数値計算及び精度保証に関する研究

非线性问题高速高精度数值计算及精度保证研究

基本信息

批准号：
01J03314
负责人：
小林健太
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J03314/
关键词：
精度保証数値的検証法 Nekrasov方程式解の大域的な一意性

项目摘要

我々は今年度においては、主として、Nekrasov方程式の正値解の大域的な一意性に対する数値的検証法に関する研究を行なった。水面波におけるある種の進行波の一意性を証明することは、Nekrasov方程式に対する正値解の一意性の証明に帰着することが知られている。一意性の証明は多くの水面波の研究者にとって40年来の未解決問題であったが、Nekrasov方程式に対し数値的検証法を用いることにより正値解の大域的な一意性の証明に成功した。本研究においては、精度保証付き数値計算を用いて反復により解の存在範囲を逐次評価し、ある程度解の存在範囲が限定されたところで縮小写像を評価するという手法を用いた。実際の計算においては計算速度を上げるため、浮動小数点の丸めの方向を制御することにより精度保証を実現している。この結果、3.009【less than or equal】μ【less than or equal】3.0092と3.3【less than or equal】μ【less than or equal】30の範囲について正値解の一意性を証明することができた。μ=3はこの方程式の分岐点になっており、分岐点近傍での数値計算は非常に困難であるが、その付近での検証にも成功した。加えて、μが3以上3.009以下の場合については正値解の一意性を解析的に証明した。精度保証付き数値計算を数学的な証明に用いている研究は、これまでにも多く報告されているが、それらの研究のほとんどは方程式の局所的な性質に関するものであり、本研究のように方程式の大域的な性質を証明した結果はほとんど知られていない。それだけに、数値的検証法によってNekrasov方程式の正値解の一意性が証明されたという結果は、それ自体が数学的に重要である上に、数値的検証法の有効範囲を拡張することが出来たという点においても非常に意味がある。

在这个财政年度，我们主要对Nekrasov方程的积极解决方案的全球唯一性进行了数值验证方法研究。已知证明某些行进波在水面波中的独特性，可以证明Nekrasov方程的阳性解决方案的独特性。 40年来，对于许多水浪研究人员来说，唯一性证明一直是一个未解决的问题，但是使用数值验证方法对Nekrasov方程式进行了成功，在证明正面解决方案的全球唯一性方面已成功。在这项研究中，我们使用了一种方法，在该方法中，使用具有保证准确性的数值计算来依次评估溶液的存在范围，然后当溶液的存在范围在一定程度上限制时评估了降低的MAP。在实际计算中，通过控制浮点数的圆形方向来确保准确性，以提高计算速度。结果，有可能证明3.009范围[小于或相等]μ[小于或等于]μ[小于或等于]μ[小于或等于]μ[小于或等于] 30的阳性溶液的独特性。μ= 3是该方程的分支点，尽管在分支点附近的数值计算很困难，但我们也很成功地验证了该区域。此外，对于μ为3或以上和3.009或以下的情况，可以通过分析证明阳性溶液的唯一性。据报道，许多研究都使用数值计算，并保证了数学证明的准确性，但是这些研究大多数与方程的局部特性有关，如本研究所示，几乎几乎没有什么可以证明方程式的全局特性。因此，通过数值验证方法证明了Nekrasov方程的阳性解决方案的唯一性在数学上在数学上很重要，而且也非常有意义，因为它能够扩展数值验证方法的有效范围。