偏微分方程式の解に対する数値的検証法の新たな高度化の研究

偏微分方程解数值验证的新方法研究

基本信息

批准号：
21K03378
负责人：
中尾充宏
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究課題と関連した研究協力者との情報交換および研究連携のもとにを検討を行った。本年度得られた研究結果は主として次の通りである。（１）発展型方程式の基本形である熱方程式に対し、その時間周期解に対する従来の全離散解の構成的誤差評価を改良した。具体的なモデル問題に対する数値例を実装し、十分な改良効果が実現されていることを確認した。（２）3次元Stokes 方程式の有限要素解に対するa priori誤差評価定数を用いて、3 次元定常Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証法を定式化し、非凸多面体領域上の問題に適用して、その検証数値例により、有効性を実証した。これは世界的に見ても未だ例のない画期的な成果であり、国際学術誌に論文として公表した。（３）藤田型の発展方程式に対し、解の爆発可能性および時刻の特定に関して、それらを精度保証付きで求める手法を定式化し、それを用いて空間1次元の藤田型問題に対する爆発時刻包み込みの実例を示し、その有効性を立証した。これは従来の数値的近似とは異なり、解が有限時間爆発することおよびその時刻を、数学的に厳密に保証するものである。（４）線形楕円型作用素に対する近似逆作用素ノルムの厳密な逆作用素ノルムへの収束について考察しその条件を明らかにした。さらに収束オーダーについてもいくつかの可能性を示唆した。楕円型作用素は無限次元であり、それを有限次元で近似した作用素が作用素として収束することは期待できないが、そのノルムは収束することを明らかにするものである。（５）熱方程式の全離散解に対して、その構成的a priori誤差評価定数を計算機援用証明を用いずに導出した。従来のa priori誤差評価定数の算定では、行列固有値問題の解を精度保証付きで求める必要があり、定数の決定が空間領域の形状や個々の離散化スキームに依存し、非効率的であったのに対して、この結果は本質的な改善をもたらすものである。

通过与与该研究主题相关的研究合作者进行信息交流和研究合作进行讨论。今年取得的主要研究成果如下。 (1) 对于演化方程的基本形式热方程，我们改进了其时间周期解的所有离散解的常规结构误差评估。我们针对具体模型问题进行了数值算例，并确认取得了足够的改进效果。 (2)利用3D Stokes方程有限元解的先验误差评估常数，制定了3D平稳Navier-Stokes方程解的数值验证方法，并将其应用于非凸多面体域上的问题。通过数值验证实例证明了有效性。这是世界上前所未见的革命性成果，并以论文形式发表在国际学术期刊上。 (3)针对Fujita型演化方程，我们制定了一种保证精度的确定爆炸概率和解时间的方法，并利用该方法解决了空间一维Fujita型问题的爆炸时间包裹问题。通过提供实际例子来提高有效性。这与传统的数值近似不同，因为它在数学上严格保证解将在有限的时间内爆炸，以及爆炸发生的时间。 (4)我们考虑了线性椭圆算子的近似逆算子范数与精确逆算子范数的收敛性并阐明了条件。此外，我们提出了一些关于收敛顺序的可能性。椭圆算子具有无限维数，在有限维上逼近它的算子不能期望作为算子收敛，但它的范数清楚地表明它会收敛。 (5) 在不使用计算机辅助证明的情况下推导了热方程的所有离散解的构造性先验误差评估常数。在传统的先验误差评估常数计算中，需要在保证精度的情况下找到矩阵特征值问题的解，而常数的确定依赖于空间域的形状和各个离散化方案，效率较低。代表着实质性的进步。