関数方程式の解に対する精度保証付き数値計算法

求解函数方程的保证精度数值计算方法

基本信息

批准号：
06640321
负责人：
中尾充宏
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

これまでに得られた楕円型方程式に関する結果を、より実用度の高いものに改良・拡張するための検討を行なった。また、原理的な検証定式化が行なわれている放物型および双曲型方程式に対して、その適用性を高めることを試みた。具体的な検討結果は以下の通り。(1)最大値ノルムの意味での精度保証が可能な方法を検討し、数値的に構成可能なa priori誤差評価を得るとともに、高次要素を用いて高精度で最大値ノルム型のa posteriori誤差評価を得る方法を見い出した。(2)パラメータに依存する非線形微分方程式系に対し、turning pointやbifurcation pointの近傍における特異性の影響を克服した検証方式を定式化し、またそれらの点自体を数値的に精度保証する方法を実現した。(3)方程式の中に未知関数についてのフレッシェ微分が不能な項を含む場合にも、ニュートン的方法による検証な可能なことを、電磁流体の平衡系方程式を例にとって明らかにした。(4)高次有限要素を用いて近似解のa posteriori誤差評価を行い、その結果に残差反復を適用することにより、検証能力が飛躍的に向上することを見い出した。(5)非線形楕円型方程式の球対称解の漸近挙動を特徴づける積分方程式について、その解を精度保証することにより、理論的に解明困難な問題に対し数値的解決を与えた。(6)空間2次元および3次元の非線形放物型問題に対する数値的検証法を定式化し、その検証例を与えた。(7)Stokes方程式の有限要素解に対するa posteriori誤差評価の方法を見いだし、Navier-Stokes方程式の解の数値的検証定式化への見通しを得た。(8)検証プログラムの高速化と効率化について検討し、検証手順の簡易化手法を見いだし、これによりにより検証プログラムの実行効率と検証精度の向上が計れた。

我们进行了一项研究，以改进和扩展迄今为止获得的椭圆方程的结果，使其更加实用。我们还尝试提高抛物线和双曲方程的适用性，并对其进行了理论验证。具体研究结果如下。 (1)考虑一种能够保证最大值范数意义上的精度的方法，获得可数值配置的先验误差评估，并使用高阶元素创建高度精确的后验最大值范数类型我们找到了一种方法获得误差估计。 (2) 制定一种验证方法，克服依赖于参数的非线性微分方程系统的转折点和分叉点附近的奇异性影响，并实现一种在数值上保证这些点本身精度的方法。 (3) 即使方程中包含无法对未知函数进行 Fréchet 微分的项，也可以以电磁流体平衡系统方程为例，使用牛顿法进行验证。 (4)我们发现，通过使用高阶有限元对近似解进行后验误差评估并对结果应用残差迭代，可以显着提高验证能力。 (5)通过保证表征非线性椭圆方程球对称解渐近行为的积分方程的精度，为理论上难以解决的问题提供了数值解。 (6)制定了2D和3D空间非线性抛物型问题的数值验证方法，并给出了验证算例。 (7)找到了Stokes方程有限元解的后验误差评估方法，并对Navier-Stokes方程解的数值验证的制定提出了展望。 (8)研究了如何加速验证程序并使验证程序更加高效，找到了简化验证程序的方法，从而提高了验证程序的执行效率和验证精度。