無限次元の問題に対する数値計算法

无限维问题的数值方法

基本信息

批准号：
01540185
负责人：
中尾充宏
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1989
资助国家：
日本
起止时间：
1989 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01540185/
关键词：
境界値問題数値解法誤差解析有限要素法

项目摘要

本年度は無限次元空間の問題に対する数値計算の品質保証として、主に関数方程式の解の存在を計算機により数値的に立証する手法について検討した。これまでの研究成果をもとに、検証可能な問題の範囲の拡大を図ると共に、現実に数理科学上に現れる方程式に対して適用することにより、その有効性を評価した。具体的な研究内容と成果は次の通りである。1)線型楕円型境界値問題に対し解の数値的検証を行う場合、与えられた方程式を不動点定式化するが、この時の作用素のスペクトル半径が大きいと従来の方式では検証が不可能であった。今回、Newton法的な考えを用いてこの点を克服する方法を開発した。2)非線型楕円型方程式の解に対する検証法を定式化し、Δu=f(x,u,▽u)の形の非線型問題に対し、数値的検証が可能であることを実証した。非線型問題の場合、線型とは異なりL^2理論の適用が一般には困難であるが、例えば2階方程式で1回微分項を欠く場合には、埋め込み定理の適用によりL^2理論で対処可能なことが明らかにされた。3)検証能力の実用的評価を目的として、非線型常微分方程式の2点境界値問題に対する検証法を検討した。即ち、機械力学や電気回路等の非線型振動モデルであるDuffingの方程式に対し、その2点境界値問題の解の存在と、存在範囲を数値的に検証する方法を定式化し、実際に計算機による検証数値例を与えた。この結果、本手法は方程式に含まれる各パラメ-タがある範囲内にある場合には、精度良く解を検証できることがわかり、実用性が確認された。なお検証範囲の拡大と高精度化に向けての検討を行いその見通しを得た。この他、各研究分担者はそれぞれの分野に現れる関数方程式に関して、数値計算法の観点から検討を行い多くの知見を得ている。

今年我们主要研究利用计算机数值证明函数方程解存在性的方法，以保证无限维空间问题数值计算的质量。基于迄今为止的研究成果，我们旨在扩大可验证问题的范围，并通过将其应用于数学科学中实际出现的方程来评估其有效性。具体研究内容及结果如下。 1）在数值验证线性椭圆边值问题的解时，将给定方程表示为不动点，但如果算子的谱半径很大，则用常规方法无法验证。这次，我们开发了一种利用牛顿定律来克服这个问题的方法。 2）我们提出了非线性椭圆方程解的验证方法，并证明了对于Δu=f(x,u,▽u)形式的非线性问题的数值验证是可能的。与线性问题不同，一般很难将 L^2 理论应用于非线性问题，但例如，如果二阶方程缺少单个微分项，则可以通过应用嵌入定理使用 L^2 理论来求解。已经很清楚这是可能的。 3)以验证能力的实际评价为目的，研究了非线性常微分方程两点边值问题的验证方法。换句话说，我们制定了一种方法来数值验证杜芬方程（机械力学、电路等非线性振动模型）的两点边值问题的存在性和存在范围，并使用给出了计算机验证的数值例子。结果表明，当方程中各参数在一定范围内时，该方法能够高精度地验证解的正确性，证实了其实用性。此外，我们还研究了扩大验证范围和提高准确性的方法，并对此进行了展望。此外，每位研究人员通过从数值计算方法的角度研究各自领域中出现的函数方程，获得了大量的知识。