無限次元の問題に対する数値計算法

无限维问题的数值方法

• 批准号: 01540185
• 负责人: 中尾 充宏
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1989
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1989 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01540185/
• 关键词: 境界値問題; 数値解法; 誤差解析; 有限要素法; 境界値問題; 数値解法; 誤差解析; 有限要素法

本年度は無限次元空間の問題に対する数値計算の品質保証として、主に関数方程式の解の存在を計算機により数値的に立証する手法について検討した。これまでの研究成果をもとに、検証可能な問題の範囲の拡大を図ると共に、現実に数理科学上に現れる方程式に対して適用することにより、その有効性を評価した。具体的な研究内容と成果は次の通りである。1)線型楕円型境界値問題に対し解の数値的検証を行う場合、与えられた方程式を不動点定式化するが、この時の作用素のスペクトル半径が大きいと従来の方式では検証が不可能であった。今回、Newton法的な考えを用いてこの点を克服する方法を開発した。2)非線型楕円型方程式の解に対する検証法を定式化し、Δu=f(x,u,▽u)の形の非線型問題に対し、数値的検証が可能であることを実証した。非線型問題の場合、線型とは異なりL^2理論の適用が一般には困難であるが、例えば2階方程式で1回微分項を欠く場合には、埋め込み定理の適用によりL^2理論で対処可能なことが明らかにされた。3)検証能力の実用的評価を目的として、非線型常微分方程式の2点境界値問題に対する検証法を検討した。即ち、機械力学や電気回路等の非線型振動モデルであるDuffingの方程式に対し、その2点境界値問題の解の存在と、存在範囲を数値的に検証する方法を定式化し、実際に計算機による検証数値例を与えた。この結果、本手法は方程式に含まれる各パラメ-タがある範囲内にある場合には、精度良く解を検証できることがわかり、実用性が確認された。なお検証範囲の拡大と高精度化に向けての検討を行いその見通しを得た。この他、各研究分担者はそれぞれの分野に現れる関数方程式に関して、数値計算法の観点から検討を行い多くの知見を得ている。

今年，我们检查了一种使用计算机存在功能方程的解决方案的数值证明的方法，主要是为了确保无限尺寸空间问题的数值计算质量。根据先前的研究结果，我们扩大了可验证问题的范围，并通过将其应用于实际出现在数学科学中的方程式来评估其有效性。特定的研究内容和结果如下：1）当对线性椭圆形边界值问题的溶液进行数值验证时，给定方程式为固定点，但是如果此时操作员的光谱半径很大，则无法使用常规方法进行验证。现在，我们已经开发了一种使用牛顿的法律思想来克服这一点的方法。 2）我们为非线性椭圆方程的溶液制定了验证方法，并证明了形式ΔU= f（x，u，▽u）的非线性问题的数值验证。在非线性问题的情况下，与线性问题不同，通常很难应用L^2理论，但是已经揭示了，例如，当二阶方程缺乏单个差异术语时，可以通过应用嵌入式定理来解决L^2理论。 3）实际上评估了验证功能，我们研究了一种验证方法，用于非线性普通微分方程的两点边界值问题。换句话说，对于Duffing的方程式，这是用于机械力学和电路的非线性振动模型，这是一种数值验证解决方案的存在方法，即两点边界值问题和存在范围，并且给出了使用计算机的数值验证的示例。结果，发现当该方程中包含的每个参数在一定范围内时，该方法可以准确验证解决方案，并确认了实用性。此外，我们研究了验证的范围并提高了准确性，并获得了前景。此外，每个研究人员都研究了从数值计算方法的角度出现在每个字段中的功能方程，并获得了大量知识。