流体力学的非線形安定性問題に対する計算機援用証明

流体动力学非线性稳定性问题的计算机辅助证明

基本信息

批准号：
15740067
负责人：
渡部善隆
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

前年度までに得られた成果をもとに高Rayleigh数に対する非線形偏微分問題である2次元Oberbeck-Boussinesq方程式の定常解の存在検証を行なった.方程式は流体の粘性を規定するパラメータであるRayleigh数が大きくなるほど非線形項が支配的となり,計算が不安定になることが知られている.この問題点を回避するため,問題を残差引き戻しの形式に変換し,解の存在検証条件を導き,数値実験を行なった.併せて3次元問題への拡張を試み,原理的な適用可能性を確認した.さらに,これらの成果を踏まえ,2次元問題に対する対称性破壊分岐点の存在検証を行った.Oberbeck-Boussinesq方程式は,Rayleigh数をパラメータとして様々な分岐を起こすことが数値的に知られている.ただし理論的に得られている知見は自明解からの分岐のみであり,非自明解からの分岐点の存在証明は得られていなかった.本研究では,分岐点における特異性を回避するためにOberbeck-Boussinesq方程式と線形化方程式によって構成される拡大方程式を与え,分岐点が存在するための条件を対称性破壊分岐理論を援用することにより導いた.さらに,拡大方程式の解の存在検証条件の定式化を行ない,検証アルゴリズムおよび検証結果を与えた.加えて,分岐曲線追跡のための数値計算スキームとともに大規模数値計算に適応したアルゴリズムの高速化・並列化を検討した.以上の研究成果によって,流体力学的非線形安定性問題,特に熱対流問題の解の大域的構造を把握するための基盤を構築することができた.

根据前一年获得的结果，我们验证了二维Oberbeck-Boussinesq方程的稳态解决方案的存在，这是高瑞利数字的非线性部分差分问题。众所周知，定义流体粘度的参数越大，计算越多，计算就越不稳定。为了避免此问题，该问题被转换为残余缺点的形式，得出了验证溶液存在的条件，并进行了数值实验。我们还试图将其扩展到三维问题，从而确认了原则适用性。此外，根据这些结果，我们验证了对称性断裂分支点的存在，以解决二维问题。 Oberbeck-Boussinesq方程数字表明，使用Rayleigh数字作为参数发生了各种分支。但是，理论上获得的唯一发现是从明显的解决方案分支，并且没有从非明显的解决方案获得了分支点的存在。在这项研究中，为了避免分支点的奇异性，我们给出了一个由Oberbeck-Boussinesq方程和线性化方程组成的扩大方程，并且通过结合对称性断裂分支理论来得出了存在分支点的条件。此外，我们制定了验证扩展方程溶液存在的条件，并提供了验证算法和验证结果。此外，我们研究了适合大规模数值计算的算法的速度和并行化，以及用于分支曲线跟踪的数值计算方案。上述研究结果使我们能够为了解流体动力非线性稳定性问题（尤其是热对流问题）的全球解决方案的全球结构奠定基础。