Studies on rigorous integrator for infinite dimensional dynamical systems

无限维动力系统严格积分器研究

基本信息

批准号：
22K03411
负责人：
高安亮紀
金额：
$ 2.25万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。

今年，我们将致力于研究时间演化非线性偏微分方程（时间演化方程）解轨迹严格求积的计算机辅助证明方法，并建立非微扰解分析方法的新基础理论。成功了。具体来说，我们将时间演化方程的解的行为捕获为无限维动力系统，并使用计算机辅助来证明解在使用半群理论通过定点形式数值获得的近似解附近的时间局部存在性。配方确定。特别是，利用不动点形式的不动点是目标方程的经典解这一事实，我们能够提出一种统一的方法，通过数值严格推导出时间局部解附近的唯一存在性。计算。该方法的特点是，将半群理论与数值计算相结合，在近似解中实现了演化算子的时间一致评估，并保证了精度。通过使用每种评估方法，我们成功地获得了期望的评估。我们还开发了一种时间步进方法，通过评估时间间隔的端点来延长解决方案的存在时间。我们表明，通过使用区间运算进行数值计算，在每个时间间隔内重复局部存在性验证，可以对多个时间间隔上的解进行数值验证。该方法应用于材料化学领域的流体模型Swift-Hohenberg方程和二嵌段共聚物模型Ohta-Kawasaki方程。通过严格地将解从给定初始值开始的时间演化包含在通过数值计算获得的近似解附近，可以执行严格求积时间演化方程的解轨迹的计算机辅助证明。