Studies on rigorous integrator for infinite dimensional dynamical systems

无限维动力系统严格积分器研究

• 批准号: 22K03411
• 负责人: 高安 亮紀
• 金额: $ 2.25万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03411/
• 关键词: 計算機援用証明; 無限次元力学系; Swift-Hohenberg方程式; Ohta-Kawasaki方程式; 発展作用素; 半群理論; タイムステッピング; 精度保証付き数値計算; 計算機援用証明; 無限次元力学系; Swift-Hohenberg方程式; Ohta-Kawasaki方程式; 発展作用素; 半群理論; タイムステッピング; 精度保証付き数値計算

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。

今年，我从事研究计算机辅助的证明方法，这些方法严格地雕刻了时间不断发展的非线性偏微分方程（时间变化方程）的解决方案轨迹，并成功地建立了对解决方案的非受阻分析方法的新基本理论。具体而言，我们建立了一个公式，该公式捕获了时间演化方程作为无限维度机械系统的溶液的行为，并使用计算机辅助公式证明了解决方案在近似解决方案的附近证明解决方案的时间位置，该解决方案是通过固定点形式使用半元素理论获得的。特别地，使用固定点形式的固定点是感兴趣方程的经典解，我们已经能够提出一种统一的方法，该方法通过数值计算在时间局部解决方案附近得出独特的存在。该方法以近似解决方案中进化运算符的时间均匀评估是通过将半群理论和数值计算与准确性保证相结合来实现的。通过使用Semigroup理论的评估方法在数值和无限二维部分上处理有限的零件，它成功地获得了所需的评估。此外，已经开发了一种时间步进方法来通过评估时间间隔的端点来扩展解决方案的时间。已经表明，通过使用间隔计算在每个时间间隔中重复局部存在验证，可以在多个时间间隔内对解决方案的数值验证。该方法应用于Swift-Hohenberg方程，一种流体模型和Ohta-Kawasaki方程，这是材料化学领域中的二嵌段共聚物模型。通过严格包括通过数值计算获得的近似解决方案附近给定初始值的时间演变，可以提供计算机辅助的证据以精确模拟时间演化方程的解决方案轨迹。