Computer-assisted solution verification for the Navier-Stokes equation with large Reynolds numbers

大雷诺数纳维-斯托克斯方程的计算机辅助解验证

• 批准号: 20KK0306
• 负责人: 劉 雪峰
• 金额: $ 8.99万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (A))
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021 至 2023
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20KK0306/
• 关键词: ナビエ・ストークス方程式; 計算機援用証明; Divergence-free条件; 重調和作用素; Homotopy法; 非自己共役作用素; ストークス作用素; 固有値問題; 厳密計算ライブラリ; ナビエストークス方程式; 固有値問題の厳密評価; Hypercircle法

本研究では、流体の運動方程式を表すナビエ・ストークス方程式に対し、非自己共役微分作用素のノルム評価法を中心に解の解析を行い、解の存在証明に使用される作用素のノルム評価方法を開発することを目指しています。2022年5月から12月にかけて、研究代表者はドイツのカールスルーエ工科大学のPlum教授を訪問し、以下の課題に関する研究を進めました。（１）ストークス作用素の固有値問題は重調和作用素の固有値問題に密接しています。重調和作用素の固有値問題に使われる鞍点式化の手法を応用し、非自己共役のストークス作用素の固有値問題を自己共役性のある鞍点型固有値問題に帰着する方法を考察しました。現在、ラプラス作用素の場合について、自己共役化された鞍点型固有値問題の理論的な妥当性を検証し、数値計算でその有効性も確認しました。この手法を使用することにより、従来の重調和作用に対して使用されていた高次有限要素法が不要となり、線形有限要素法でも元来の４階微分作用素の厳密な固有値評価が可能となります。（２）Homotopy法を応用し、ストークス作用素の固有値評価方法も検討しました。固有値の逐次変化が必要となるHomotopy法において、局部領域のみでdivergence-free条件を満たす中間固有値問題を使用し、安定かつ効率的なHomotopy法を新たに提案しました。この新しい手法により、ストークス作用素の厳密な固有値評価時に、目標とする固有値問題を100以下の次元数の行列の固有値問題に帰着させることが可能となり、計算効率が大きく向上しました。

在这项研究中，我们分析了代表流体运动方程的纳维-斯托克斯方程的解，重点关注非自共轭微分算子的范数评估方法，并开发了一种评估算子范数的方法，用于证明我们的目标就是这样做。 2022年5月至12月，主要研究者访问德国卡尔斯鲁厄理工学院Plum教授，并就以下问题进行了研究。 (1) Stokes算子的特征值问题与双调和算子的特征值问题密切相关。应用用于双调和算子特征值问题的鞍点公式方法，我们考虑了一种将非自共存斯托克斯算子的特征值问题简化为具有自共性的鞍点型特征值问题的方法。目前，针对拉普拉斯算子的情况，我们验证了自共轭鞍点特征值问题的理论有效性，并通过数值计算证实了其有效性。通过使用该方法，不再需要传统双调和运算所使用的高阶有限元方法，并且线性有限元方法还可以对原始四阶微分算子进行严格的特征值评估。 (2)应用同伦方法，我们还考虑了评估Stokes算子特征值的方法。在需要特征值连续变化的同伦方法中，我们提出了一种新的稳定且高效的同伦方法，该方法使用仅在局部区域满足无散条件的中间特征值问题。这种新方法使得在Stokes算子的严格特征值求值过程中，可以将目标特征值问题简化为100维以下矩阵的特征值问题，大大提高了计算效率。

项目成果

Laplace作用素の非斉次Neumann境界値問題の有限要素近似に対する定量的誤差評価

拉普拉斯算子非齐次诺伊曼边值问题有限元逼近的定量误差评估

• 发表时间: 2023
• 作者: Kobayashi Daiki;First Michael B.;Shimbo Takuro;Kanba Shigenobu;Hirano Yoji*;中野 泰河,劉 雪峰
• 通讯作者: 中野 泰河,劉 雪峰

多角形領域におけるDirichlet固有値問題の形状最適化問題

多边形域狄利克雷特征值问题的形状优化问题

• 发表时间: 2022
• 作者: Gen Terasaka;Masao Nakamura;Koki Nitta;Nobito Yamamoto;遠藤 凌輝,劉 雪峰
• 通讯作者: 遠藤 凌輝,劉 雪峰

3次元領域における流れの計算機援用証明－数学の未解決問題へ挑む－

三维域中的计算机辅助流证明 - 挑战数学中未解决的问题 -

Rigorous eigenvalue estimation to the Stokes equation and its application to solution verification for Navier-Stokes equation

Stokes方程的严格特征值估计及其在Navier-Stokes方程解验证中的应用

• 发表时间: 2021
• 作者: Irizawa Akinori;Fujimoto Masaki;Kawase Keigo;Kato Ryukou;Fujiwara Hidenori;Higashiya Atsushi;Macis Salvatore;Tomarchio Luca;Lupi Stefano;Marcelli Augusto;Suga Shigemasa;Xuefeng LIU
• 通讯作者: Xuefeng LIU

微分作用素の固有値と固有関数の厳密評価法の進展

微分算子特征值和特征函数严格评估研究进展

• 发表时间: 2022
• 作者: Soon Julian Wong;Oohora Koji;Hayashi Takashi;劉 雪峰
• 通讯作者: 劉 雪峰