自然科学に現れる逆問題の数学解析及び数値解析

自然科学中出现的反问题的数学和数值分析

基本信息

批准号：
11740061
负责人：
久保雅義
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

双曲型偏微分方程式の係数を決定するという逆問題とり上げその解の一意性に対して、ある新しい観測領域の下で成立することが分かった.双曲型作用素に対しては本質的にpseudo-convexな領域にしか普通のCarleman評価が成り立たないためこの種の逆問題への適用は限界がある。この逆問題としての観測領域は,双曲型偏微分方程式の初期条件t=0,pseudo-convexでない境界に対する(pseudo-convexな境界の場合はすでに解決ずみであるが,双曲型の場合にはこの条件は医学・工学への応用を考えた場合非常に厳しいものとなっている.)境界条件及び時刻t=T>0における双曲型偏微分方程式の解の値(速度を含む)となっている.今回用いた方法は重層ポテンシャルによる積分変換により双曲型偏微分方程式を楕円型偏微分方程式に変える手法である.これはt=0とt=Tにおける条件を用いることで容易に変換できるものである.これにより方程式としては楕円型となるので任意のなめらかな曲面がpseudo-convexとなり取り扱いが容易になる.しかし問題として変換によって逆問題に境界特異点が出てきてしまい通常のCarleman評価は適用できない.これに対して最近得られた境界特異値込のCarleman評価を用いることで問題となる特異点を押さえることができた.この特異値込のCarleman評価は放物型に対しては以前から得られたいたが楕円型に対しては形式的に評価として確立してはいるが,有効な応用については例がなかった.楕円型偏微分方程式は任意の滑らかな曲面がpseucdo-convexとなるので単なる一意接続性については境界特異値込のCarleman評価を用いる必要性が生じないからである.一方今回の問題は双曲型偏微分作用素を積分変換で楕円型に変えたものに境界特異値が生じる逆問題のケースであったため楕円型に対する境界特異値込のCarleman評価が有効な手段となり,この逆問題の解の一意性を示すことができた.

已经发现，在新的观察区域下，可以满足确定双曲线偏微分方程系数的逆问题的唯一性。对于双曲线运算符，这种类型的反问题的应用是有限的，因为通常的卡尔曼评估只能在本质上是伪convex的区域中保存。观察区域作为逆问题是双曲部分差分方程t = 0的初始条件，对于不是伪convex的边界（其中伪convex边界已经解决了已经解决的伪符号界限，但在考虑到偏微分方程的情况下，在考虑到范围的差异时，该条件非常严格，包括在药物和工程中的范围（包括VEL）。时间t = t> 0。这次使用的方法是一种通过使用多层电位的积分转换将双曲线偏微分方程转换为椭圆偏微分方程的方法。可以通过使用t = 0和t = t的条件轻松地转换这一点。这使得方程椭圆形，因此任何光滑的表面变成伪符号，使其更容易处理。但是，作为一个问题，边界奇点出现在反问题中。通常无法应用Carleman评估。相比之下，通过使用最近获得的Carleman评估边界奇异值，我们能够抑制有问题的奇异点。以前已经获得了具有奇异值的卡尔曼评估，但已作为抛物线类型的类型获得，但已被正式确定为对椭圆类型的评估，但没有有效应用的例子。在椭圆形的部分微分方程中，无需使用具有边界奇异值的Carleman评估来实现简单的独特连接。另一方面，在这种情况下，当双曲线部分差异操作员通过积分转换转换为椭圆类型时发生边界奇异值的情况，因此，具有椭圆类型的边界奇异值的卡尔曼评估是有效的手段，并且可以将解决方案的独特性转化为这种反向问题的唯一性。