自然科学に現れる逆問題の数学解析及び数値解析

自然科学中出现的反问题的数学和数值分析

基本信息

批准号：
11740061
负责人：
久保雅義
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

双曲型偏微分方程式の係数を決定するという逆問題とり上げその解の一意性に対して、ある新しい観測領域の下で成立することが分かった.双曲型作用素に対しては本質的にpseudo-convexな領域にしか普通のCarleman評価が成り立たないためこの種の逆問題への適用は限界がある。この逆問題としての観測領域は,双曲型偏微分方程式の初期条件t=0,pseudo-convexでない境界に対する(pseudo-convexな境界の場合はすでに解決ずみであるが,双曲型の場合にはこの条件は医学・工学への応用を考えた場合非常に厳しいものとなっている.)境界条件及び時刻t=T>0における双曲型偏微分方程式の解の値(速度を含む)となっている.今回用いた方法は重層ポテンシャルによる積分変換により双曲型偏微分方程式を楕円型偏微分方程式に変える手法である.これはt=0とt=Tにおける条件を用いることで容易に変換できるものである.これにより方程式としては楕円型となるので任意のなめらかな曲面がpseudo-convexとなり取り扱いが容易になる.しかし問題として変換によって逆問題に境界特異点が出てきてしまい通常のCarleman評価は適用できない.これに対して最近得られた境界特異値込のCarleman評価を用いることで問題となる特異点を押さえることができた.この特異値込のCarleman評価は放物型に対しては以前から得られたいたが楕円型に対しては形式的に評価として確立してはいるが,有効な応用については例がなかった.楕円型偏微分方程式は任意の滑らかな曲面がpseucdo-convexとなるので単なる一意接続性については境界特異値込のCarleman評価を用いる必要性が生じないからである.一方今回の問題は双曲型偏微分作用素を積分変換で楕円型に変えたものに境界特異値が生じる逆問題のケースであったため楕円型に対する境界特異値込のCarleman評価が有効な手段となり,この逆問題の解の一意性を示すことができた.

我们研究了确定双曲偏微分方程系数的反问题，发现解的唯一性在新的观察域下成立，因为普通的卡尔曼评估仅在-凸区域成立，因此其应用受到限制。这类逆问题。这个反问题的观察域是基于双曲偏微分方程的初始条件 t=0，对于非伪凸边界（在伪凸边界的情况下已经解决了，但是在双曲型的情况（在考虑医学和工程应用时，这个条件极其严格。）此时 t=T>0 时双曲偏微分方程的边界条件和解值（包括速度）变为。之前使用的方法是使用多层势进行积分变换将双曲偏微分方程转换为椭圆偏微分方程。使用t=0和t=T时的条件可以很容易地转换为该方程。变成椭圆，因此任何光滑表面都变成伪凸，更容易处理。但问题是，由于变换，逆问题中出现了边界奇点。因此，不能应用通常的卡尔曼评估。相反，通过使用最近获得的包括边界奇异值的卡尔曼评估，我们能够抑制有问题的奇异性。这个包括奇异值的卡勒曼评估是抛物线的，尽管它已经成立。作为椭圆型的形式化评价，目前还没有有效应用的例子。对于任意光滑曲面都可以得到椭圆偏微分方程这是因为它变成了伪凸，因此不需要使用包括边界奇异值的卡尔曼评估来实现简单的唯一连通性。另一方面，在这个问题中，我们将双曲偏微分算子改为椭圆算子由于这是椭圆形中出现边界奇异值的反问题的情况，因此包含椭圆体边界奇异值的卡尔曼评估成为一种有效的方法，并且我们能够证明这个反问题的解。