Geometric analysis of partial differential equations and inverse problems

偏微分方程和反问题的几何分析

• 批准号: 22K03381
• 负责人: 坂口 茂
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03381/
• 关键词: 不変等温面; 不変臨界点; 二相熱伝導体; 界面; 分数冪熱方程式; 領域の対称性; Serrinの平面移動法; 幾何解析; 偏微分方程式; 逆問題; 複合媒質; 分数冪ラプラス作用素

研究の目的は偏微分方程式で記述される問題の解の幾何学的性質の探求を主眼に, 偏微分方程式を介在として, 近年発展の目覚ましい幾何解析と逆問題の視点を有機的に結びつけ, それらをより一層発展させることである。本年度の主な研究成果は２つある。一つは, ユークリッド空間が有限個の有界領域からなる媒質とそれ以外の非有界媒質からなる二相熱伝導体のとき, 初期温度が片方の相の特性関数であって, 界面が不変等温面（常に等温面になっている曲面）ならば, 有限個の有界領域からなる媒質は一つの球に限ることをSerrin（1971年)の平面移動法を直接２つの媒質に同時に適用する新しい手法により示したことである。内部領域のみの問題や外部領域のみの問題については一般の線形および非線形楕円型方程式にSerrin（1971年)の平面移動法は適用されて来たが, 内部領域と外部領域に同時に適用するのはこの研究が初めてであった。ここでは界面での伝送条件が重要な役割を演じた。もう一つは, 熱方程式の解の不変臨界点（常に温度の臨界点になっている点）または不変零点（常に温度零の点）の存在と領域の対称性に関するMagnanini-Sakaguchi(1997,1999年)の結果を部分的に分数冪熱方程式に対して示したことである。有界領域上の斉次ディリクレ境界条件は熱方程式の場合は境界上のみで与えられるが分数冪熱方程式の場合は領域の外部全てで与えられる。熱方程式の場合に使えた手法が非局所方程式である分数冪熱方程式に対して使えるとは限らず新たな困難さを克服する必要があった。 例えば, 熱方程式の場合に役に立ったラプラス作用素の極座標表示が分数冪熱方程式については使えない困難さを別の方法で克服した。なお, 本成果は学術雑誌に論文を投稿中である。

该研究的目的是探索解决部分微分方程中描述的问题的几何特性，并有机地将最新发展的显着几何分析与反问题的观点联系起来，并进一步发展它们。今年有两个主要的研究结果。 One is that when the Euclidean space is a two-phase thermal conductor consisting of a medium consisting of finite bounded regions and other unbounded media, if the initial temperature is a characteristic function of one phase and the interface is an invariant isothermal surface (a surface that is always an isothermal surface), the medium consisting of finite bounded regions is limited to one sphere by applying Serrin (1971)'s planar movement method directly to two媒体同时。 Serrin（1971）的平面运动方法已应用于仅内部和外部区域问题的一般线性和非线性椭圆方程，但是这项研究是首次将其同时应用于内部和外部区域。在这里，接口处的传输条件起着重要作用。另一个是Magnanini-Sakaguchi（1997，1999）导致不变临界点（始终是温度的临界点）或不变ZEROS的存在和域对称性（始终是零温度的临界点）或热方程解的点（始终处于零温度的点），部分提出了分数功率热热方程的部分。边界区域上的均匀的dirichlet边界条件仅在热方程的边界上给出，但在区域以外的分数热方程式都给出了。在热方程式中可以使用的方法不一定可用于分数热方程，即非本地方程，并且必须克服新的困难。例如，在热方程式中很有用的拉普拉斯算子的极性坐标表示，它克服了无法以另一种方式用于分数功率热方程的难度。此外，目前正在将此发现的论文提交给学术期刊。

项目成果

分数冪熱流の不変臨界点と領域の対称性

分数潮流的不变临界点和域对称性

• 发表时间: 2022
• 作者: Kang Hyeonbae;Sakaguchi Shigeru;坂口 茂;坂口 茂
• 通讯作者: 坂口 茂

Serrin の平面移動法と2相熱伝導体の対称性

Serrin 平面位移法和两相热导体的对称性

• 发表时间: 2022
• 作者: Kang Hyeonbae;Sakaguchi Shigeru;坂口 茂
• 通讯作者: 坂口 茂

A symmetry theorem in two-phase heat conductors

两相热导体的对称定理

• DOI: 10.3934/mine.2023061
• 发表时间: 2023
• 期刊: Mathematics in Engineering
• 影响因子: 1
• 作者: Kang Hyeonbae;Sakaguchi Shigeru
• 通讯作者: Sakaguchi Shigeru

Friedrich-Alexander University(ドイツ)

弗里德里希-亚历山大大学（德国）

Inha University(韓国)

仁荷大学（韩国）