非線形放物型初期境界値問題における解の対称性及び幾何学的性質

非线性抛物型初边值问题解的对称性和几何性质

• 批准号: 06F06753
• 负责人: 坂口 茂
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Hiroshima University (2008)Ehime University (2006-2007)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06F06753/
• 关键词: 楕円型方程式; 放物型方程式; 境界値問題; 初期境界値問題; 過度境界条件; 完全非線形楕円型方程式; 楕円体; 等位面; 過度の境界条件; 領域の形状; 自由境界; ねじれ問題

主な研究目的は,非線形放物型および楕円型方程式の境界値問題において,領域の形状と解の形状との関わりを知ることであった。主な研究成果は二つある。一つは過度境界条件を課す完全非線形楕円型境界値問題による楕円体の特徴付けを与えたことであり,もう一つは準線形放物型初期境界値問題の解の挙動に関する研究成果である。前者において,一般次元ユークリッド空間内の有界領域上であるクラスの完全非線形楕円型方程式を考えた。領域の境界上で斉次ディリクレ条件を満たす解かもし境界と相似な一つの等位面をもつならば解は2次式であって領域は楕円体に限ることを示した。また,境界上に等式または不等式で与えられる過度境界条件を課す楕円型境界値問題が解をもつならば領域は楕円体に限ることを示した。これらの結果を共著論文「Some fully nonlinear elliptic boundary value problems with ellipsoidal free boundaries」(国際学術誌に投稿中)にまとめた。球の特徴付けの定理はJ.Serrin(Arch.Rational Mech.Anal.43(1971),304--318)に始まり,現在に至るまで多くの研究者によって既にさまざまな楕円型境界値問題に対して多くの定理が得られているが,楕円体の特徴付けの定理は少なく,この共同研究による成果は意味がある。実際,2008年9月の広島大学への招聘の際,専門家のG.A.Philippin教授からもよい評価を受けた。後者の研究成果は,ある新しいクラスの準線形放物型方程式の初期境界値問題の解の爆発や指数減衰のための十分条件を与えたことである。(研究発表に記載の論文:C.Enache,Nonlinear Analysis 69-9(2008),2864-2874)

主要研究目的是了解非线性抛物型和椭圆方程边值问题中域的形状与解的形状之间的关系。主要研究成果有两个。一是通过施加过多边界条件的完全非线性椭圆边值问题来表征椭球体，二是对亚线性抛物线初始边值问题的解的行为的研究结果。在前者中，我们考虑一般维欧几里德空间中有界区域上的一类完全非线性椭圆方程。结果表明，如果解在域的边界上满足齐次狄利克雷条件，并且有一个与边界相似的等势面，则解是一个二次方程，并且域被限制为椭球体。我们还表明，如果在边界上施加由方程或不等式给出的过多边界条件的椭圆边值问题有解，则域仅限于椭圆体。这些结果总结在一篇共同撰写的论文中，“一些带有椭圆体自由边界的完全非线性椭圆边值问题”（目前正在提交给国际学术期刊）。球体表征的定理首先由 J. Serrin 提出（Arch. Rational Mech. Anal. 43 (1971), 304--318），并且迄今为止已被许多研究人员针对各种椭圆边值问题提出。该领域已经获得了很多定理，而用于表征椭球体的定理却很少，因此本次联合研究的成果意义重大。事实上，当我在2008年9月受邀去广岛大学时，我得到了专家G.A.Philippin教授的良好评价。后者的研究成果是为一类新的拟线性抛物型方程的初始边值问题的解的爆炸和指数衰减提供了充分的条件。 （研究报告中列出的论文：C. Enache, Nonlinear Analysis 69-9(2008), 2864-2874）

项目成果

Blow-up, global existence and exponential decay estimates for a class of quasilinear parabolic problems

• DOI: 10.1016/j.na.2007.08.063
• 发表时间: 2008-11
• 期刊: Nonlinear Analysis-theory Methods & Applications
• 影响因子: 1.4
• 作者: C. Enache

Maximum principles and symmetry results for a class of fully nonlinear elliptic PDE's

一类全非线性椭圆偏微分方程的极大值原理和对称性结果

• 发表时间: 2008
• 作者: Salama;A.;C. Enache;Cristian Enache
• 通讯作者: Cristian Enache