双曲型偏微分方程式に対する逆問題へのCarleman評価の応用と数値解析

卡尔曼评估在双曲偏微分方程反问题中的应用及数值分析

• 批准号: 08740143
• 负责人: 久保 雅義
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740143/
• 关键词: 逆問題; Carleman評価; 一意接続性; 偏微分方程式

逆問題の中で双曲型偏微分方程式の係数を決定するという問題とり上げその解の一意性、観測データに対する連続性をCarleman評価を用いて解析を行ない、条件安定評価(conditional stability)の一つであるl-stabilityを示すことができた。今まででは楕円型又は放物型作用素に対してBukhgeimらがCarleman評価を用いて一意性などを議論し一応の結果が出されていたが、双曲型作用素に対しては本質的にpseudo-convexな領域にしか普通のCarleman評価が成り立たないためこの方法には限界があった。これに対しては局所化されたGauss-Fourier変換を用いることで双曲型作用素を主部が楕円型となる作用素に変え、それに対してCarleman評価を用いて逆問題の解の一意性を若干の仮定のもとで示した。この結果に付随して熱方程式の解と初期値に対する評価を導いた。これは局所的Gauss-Fourier変換と関連するものであり、熱方程式の初期値問題の解の時刻ゼロの近傍での減衰オーダーから、初期値のサポートの位置の情報を得るもので、いわゆる逆問題の一つである。更にこれと関連して熱方程式及びシュレディンガー方程式に対するAsymptotic Unique Continuationを特殊な重み関数を用いて示すことができた。一般的にCarleman評価を用いると偏微分方程式の解の一意接続性が得られるが、熱方程式などに対しては、t=(定数)の平面の一部において方程式の解がexponential orderでゼロになるならば、その状態を同じt=(定数)の平面の他の部分(近傍)に伝えるというものである。今後はこの様な新しい形のCarleman評価を導き、それに基づいて逆問題の解の一意性を考察していく予定である。

将确定双曲偏微分方程的系数的问题视为反问题，我们使用卡尔曼评估来分析解的唯一性及其相对于观测数据的连续性，这是我们能够进行的条件稳定性评估之一。证明 l-稳定性。到目前为止，Bukhgeim等人使用Carleman评估来讨论椭圆或抛物线算子的唯一性，并获得了一些结果，但对于双曲算子，本质上是伪的。这种方法有其局限性，因为普通的Carleman评估仅在凸区域成立。为了解决这个问题，我们使用局部高斯-傅里叶变换将双曲算子改为主要部分是椭圆的算子，然后使用卡尔曼评估稍微提高了反问题解的唯一性，在假设下得到了证明。那根据这一结果，我们导出了热方程的解和初始值的评估。这与局部高斯-傅立叶变换有关，它是从零时附近热方程初值问题解的衰减阶中获得初值支撑位置的信息，是所谓的逆这是其中之一。此外，与此相关，我们能够使用特殊的加权函数来显示热方程和薛定谔方程的渐近唯一连续。一般来说，当使用卡尔曼评估时，可以获得偏微分方程解的唯一连通性，但对于热方程等，方程的解在t=(常数)的平面的一部分中按指数顺序变为零如果是这样，则该状态会以相同的 t=（常数）传输到平面的其他部分（邻域）。未来，我们计划推导一种新形式的卡尔曼评估，并基于它考虑反问题解的唯一性。