数理工学における偏微分方程式の逆問題への一意接続性定理の応用と数値解析

唯一连通性定理在数学工程偏微分方程反问题中的应用及数值分析

基本信息

批准号：
09740143
负责人：
久保雅義
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University (1998)Osaka University (1997)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740143/
关键词：
Carleman評価逆問題一意接続性偏微分方程式

项目摘要

通常の偏微分方程式に対する一意接続性ではゼロ初期条件を初期面に与えたときにその初期面の近傍でゼロとなるかを考察するのであるが,さらに境界面に境界条件を附加することで今までは困難とされていたタイプの一意接続性を示した.具体的には強双曲型偏微分方程式に対してDirichlet境界条件の場合だけでなくNeumann境界条件の場合でも初期面がStrongly pseudo-convex条件を満たせば初期面がtime-likeであっても境界と初期面のなす角度がある一定の条件を満たせば境界と初期面の交わりの近傍で一意接続性が成立することを示した.方程式がダランベルシアンの場合は境界と初期面のなす角度が90度未満であればその条件は満たされる.これは境界データ込のCarleman評価を強双曲型偏微分方程式に対して示すことによって成されるが,今回この評価を双曲型だけでなく放物型,楕円型に対しても示した.一つの応用として偏微分方程式の係数を決定する逆問題の解の一意性については、観測を領域のすべての境界ではなく、ある条件を満たす部分領域であればよいことがわかった。この結果は作用素の型には依存しないものであり一般の形状の領域に対しても適用可能である。また熱方程式の解と初期値に対する評価を導いた。これは熱方程式の初期値問題の解の空間のある点の近傍の時刻ゼロの近傍での減衰オーダーから、初期値のサポートの位置の情報を得るもので,いわゆる逆問題のーつである。更にこれと関連して熱方程式及びシュレディンガー方程式に対するAsymptotic Unique Continuationを特殊な重み関数を用いて示すことができた。これはt=(定数)の平面の一部において方程式の解がexponential orderでゼロになるならば、その状態を同じt=(定数)の平面の他の部分(近傍)に伝えるというものである。

在偏微分方程的正常唯一连通性中，当给初始面赋予零初始条件时，我们考虑它是否在初始面附近变为零，但是通过在边界面上添加边界条件，我们现在可以展示了一种以前被认为很困难的独特连通性。具体来说，我们表明初始表面具有很强的这表明，即使初始表面是类时间的，如果满足伪凸条件，只要边界与初始表面之间存在一定的夹角，在边界与初始表面的交点附近就会建立唯一的连通性。初始表面满足一定条件如果方程是 d'Alembertian，则当边界与初始表面之间的角度小于 90 度时，满足该条件。这是通过显示强双曲偏微分方程的卡尔曼评估来完成的，但这次我们不仅显示了双曲类型的评估，而且还展示了关于确定系数的反问题的解的唯一性。一个微分方程，我们发现只观察满足一定条件的子区域就足够了，而不是该区域的所有边界。该结果不依赖于算子的类型，并且可以应用于一般形状的区域。我们还推导了热方程的解和初始值的评估。这是一个所谓的反问题，其中关于初值支撑位置的信息是从热方程初值问题的解空间中某一点附近的零时间附近的衰减阶数获得的。此外，与此相关，我们能够使用特殊的加权函数来显示热方程和薛定谔方程的渐近唯一连续。这意味着，如果方程的解在 t=(constant) 的平面的一部分中按指数顺序变为零，则该状态将传输到 t=(constant) 的同一平面的其他部分（邻域）。