正標数の高次元カラビ・ヤウ多様体の研究

高维正特征Calabi-Yau流形的研究

• 批准号: 15654002
• 负责人: 桂 利行
• 金额: $ 2.37万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15654002/
• 关键词: 正標数; カラビ・ヤウ多様体; チャーン類; 普遍族; モジュライ空間; コモホロジー群; 超曲面; コホモロジー群; a数; ミラー対称性; ピカール群; イリュージー層; アルチン・メーザー形式群

本年度の研究成果は,2次元Calabi-Yau多様体であるK3曲面とそのモジュライに関するものが中心になった.M_<2d>を次数2d(p 〓2d)の偏極K3曲面のモジュライ・スタック,π:X→M_<2d>を偏極K3曲面の普遍族とする.V=π_*(Ω^2_<X/M_<2d>>)とおき,その第1Chern類をυ=c_1(V)とおく.また,t_2=c_2(Ω^1_<X/M_<2d>>)とおく.任意の0以上の整数lに対しπ_*(t^<l+1>_2)を有理係数のChow群の中で,υの式として表せばa_lυ^<2l>の形となるが,有理数a_lを具体的に決定した.また,M_<2d>の接束をΘとするとき,M_<2d>のGrothendieck群に於けるΘを,H^2_<dR>とVを用いて表示し,c_1(Θ)=-19υなることを示した.これらの事実および周辺の結果を論文にまとめ海外共同研究者G.van der Geerとの共同研究としてMoscow Math.J.に発表した.また,正標数における単有理曲面の研究の成果をK3曲面の場合を中心としてCreteにおける研究集会で発表した.Calabi-Yau多様体の場合には接束の第1Chern類が消える.そのことによって,Calabi-Yau多様体は素粒子論における超限理論で重要な役割を演ずるが、Higgs束も素粒子論において重要な役割を有している。Calabi-Yau多様体の接束のように第1Chern類が消えるようなHiggs束を考える.これらのベクトル束はSimpsonの結果から安定なものはn次元射影多様体Xの基本群π_1(X)の特殊線形群SL(r,C)への線形表現から得られることが導かれる.研究分担者宮岡洋一は,第1Chern類が消えるような安定Higgs束の興味深い例をいくつか構成した.

今年的研究结果集中在K3表面，这是二维Calabi-yau歧管及其模块。 M_ <2d>是2D阶（p让〓2d的极化K3表面的模量堆栈）π：x→m_ <2d>是极化K3表面的通用家族。当v =π_*（ω^2_ <x/m_ <2d >>）时，第一个Chern类是υ= C_1（v）。另外，t_2 = c_2（ω^1_ <x/m_ <2d >>）。对于任何0或更多的整数L，π_*（t^<l+1> _2）是组中有理系数的chow，如果表示为方程式υ，则专门确定了有理数A_Lυ^<2l>。此外，当M_ <2d>的切线束为θ时，使用H^2_ <dr>和V表示M_ <2d>的Grothendieck组中的θ，表明C_1（θ）=-19υ。这些事实和周围的结果总结在一篇论文中，以及他与莫斯科Math.J. Der Geer合作提出的海外合作者G.Van。他还在克里特岛的一次研究会议上介绍了他对积极元素中单理表面的研究结果，重点是K3表面。就卡拉比雅歧管而言，切线束的第一类消失。结果，卡拉比 - 尤（Calabi-Yau）在基本粒子理论的超铁矿理论中起着重要作用，但是希格斯捆绑包在基本粒子理论中也起着重要作用。考虑一个希格斯捆绑包，其中第一个Cherns消失了，就像Calabi-yau歧管的切线束一样。它是从辛普森的结果得出的，可以从n二维投射歧管X的基本组π_1（x）的线性表示中获得稳定的结果。研究合作伙伴Miyaoka Yoichi构建了一些有趣的稳定的Higgs捆绑的例子，其中首批Cherns消失了。

项目成果

代数幾何学を概観する

代数几何概述

• 发表时间: 2004
• 作者: 久保文明;砂田一郎;松岡泰;森脇俊雅【著】;桂行
• 通讯作者: 桂行

G.van der Geer, T.Katsura: "On the Height of Calabi-Yau Varieties in Positive Characteristic"Documenta Math.. 8. 97-113 (2003)

G.van der Geer、T.Katsura：“论 Calabi-Yau 品种积极特征的高度”Documenta Math.. 8. 97-113 (2003)

Numerical characterizations of hyperguadrics

hyperguadrics 的数值表征

• 发表时间: 2004
• 期刊: Adv.Stud.Pure Math. 42
• 作者: Y.Miyaoka;桂 利行;宮岡 洋一;Y.Miyaoka
• 通讯作者: Y.Miyaoka

Note on tautological classes of moduli of K3 surfaces

关于 K3 曲面模的同义反复类别的注释

• 期刊: Moscow Math.J. Accepted for publication
• 作者: G.van der Geer;T.Katsura
• 通讯作者: T.Katsura

Examples of stable Higgs bundles with flat connections

具有扁平连接的稳定希格斯丛集的示例

• 发表时间: 2004
• 期刊: 広島代数幾何シンポジウム報告集
• 作者: Y.Miyaoka;桂 利行;宮岡 洋一
• 通讯作者: 宮岡 洋一