双曲的曲線の内在的ホッジ理論

双曲曲线的本征霍奇理论

基本信息

批准号：
09740020
负责人：
望月新一
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

この研究を始めた二三年前は暗中模索の状態だったが、平成10年度になってTheta関数による新しい視点を導入し、研究が急展開を見せ始めた。とりあえずの目標である、楕円曲線の、複素数体やp進体上の比較定理の「Arakelov版」ともいうべき結果を得て、その証明を書く作業に着手し、現時点では200頁を越す論文が、後二三カ月程で完成する見込みである。この結果の証明では、p進ホッジ理論を含む整数論と、古典的な調和解析(=様々な幾何に於けるLaplacianの固有関数や固有値の理論)の様々な側面が非常に有機的につながっていて、一つの「大域的な比較定理」を形成していることは特に興味深い。尚、Theta群というものが、モチーフ的な対象として、etale位相的な実現から、調和解析的な実現まで、様々な形で理論に現れていて、証明の「重要なテーマ」の一つになっていることも面白い。また、Theta群が統制している「対称性」の当然な帰結とはいえ、非可換幾何を連想させるところも現れていて、今までの研究の主要テーマだった双曲的曲線の数論的基本群とも関係がありそうな気配が漂っている。最終的には、この理論をDiophantus幾何に応用することを想定しているが、現時点では、まだ理論の基礎の構築だけでも精一杯で、応用は直ちには期待出来そうな状況ではないが、平成10年度までは、理論すら全くなかったことを考えると、大きな進歩を遂げたといっていいと思う。

两三年前开始这项研究时，我处于在黑暗中摸索的状态，但到了1998年，我引入了基于Theta函数的新视角，研究开始取得快速进展。我最初的目标是获得复数域和 p 进数域上的椭圆曲线比较定理的“阿拉克洛夫版本”，我开始编写证明，此时我已经写了预计将在未来几个月内完成一份超过200页的论文。在这个结果的证明中，数论的各个方面，包括p进霍奇理论，以及经典调和分析（=各种几何中的拉普拉斯本征函数和本征值的理论）都非常有机地联系在一起，这些特别有趣。两种方法形成“全局比较定理”。 Theta群在理论上以多种形式出现，从etale拓扑实现到调和解析实现，并且已经成为证明的“重要主题”之一。这也很有趣。此外，虽然这是Theta群控制的“对称性”的自然结果，但也有一些非交换几何的暗示，以及双曲曲线数论，这一直是迄今为止研究的主题有一种与根本团体有关系的感觉。最终，预计该理论将应用于丢番图几何，但目前仍很难建立该理论的基础，而且考虑到到 2010 年，它不太可能立即得到应用。根本没有任何理论，我认为可以肯定地说我们已经取得了很大的进步。