双曲的曲線の内在的ホッジ理論

双曲曲线的本征霍奇理论

基本信息

批准号：
09740020
负责人：
望月新一
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

この研究を始めた二三年前は暗中模索の状態だったが、平成10年度になってTheta関数による新しい視点を導入し、研究が急展開を見せ始めた。とりあえずの目標である、楕円曲線の、複素数体やp進体上の比較定理の「Arakelov版」ともいうべき結果を得て、その証明を書く作業に着手し、現時点では200頁を越す論文が、後二三カ月程で完成する見込みである。この結果の証明では、p進ホッジ理論を含む整数論と、古典的な調和解析(=様々な幾何に於けるLaplacianの固有関数や固有値の理論)の様々な側面が非常に有機的につながっていて、一つの「大域的な比較定理」を形成していることは特に興味深い。尚、Theta群というものが、モチーフ的な対象として、etale位相的な実現から、調和解析的な実現まで、様々な形で理論に現れていて、証明の「重要なテーマ」の一つになっていることも面白い。また、Theta群が統制している「対称性」の当然な帰結とはいえ、非可換幾何を連想させるところも現れていて、今までの研究の主要テーマだった双曲的曲線の数論的基本群とも関係がありそうな気配が漂っている。最終的には、この理論をDiophantus幾何に応用することを想定しているが、現時点では、まだ理論の基礎の構築だけでも精一杯で、応用は直ちには期待出来そうな状況ではないが、平成10年度までは、理論すら全くなかったことを考えると、大きな進歩を遂げたといっていいと思う。

几年前，当我第一次开始这项研究时，我在黑暗中摸索，但是在1998年，我介绍了一种使用Theta功能的新观点，研究开始迅速发展。椭圆曲线的目的是对复杂和P-Advanced领域的比较定理的“ Arakelov版本”，已经开始撰写证明，目前超过200页的论文预计将在大约两个或三个月内完成。特别有趣的是，在这一结果的证明中，整数理论的各个方面，包括p- adjunct hodge理论和经典的谐波分析（= laplacian的特征函数和特征函数理论和各种几何的特征值）在各种几何中都非常有机，形成了单一的“全球比较理论”。有趣的是，theta群是一个主题的对象，并且从理论上讲，从依托拓扑实现到谐波分析实现，并且是证明的“重要主题”之一。此外，尽管这是Theta组控制的“对称性”的自然结果，但也有一些让人联想起非交通性几何形状的结果，并且有一个迹象表明它可能与数值基本曲线基本群有关，这是研究的主要主题。最终，我们假设该理论将应用于Diophantus几何形状，但是在这一点上，我们仍然能够尽最大努力建立该理论的基础，我们不能期望立即提出任何应用，但是考虑到1998年才有理论，我认为我们可以肯定地说，我们已经取得了巨大的进步。