双曲的曲線の内在的ホッジ理論

双曲曲线的本征霍奇理论

• 批准号: 11740017
• 负责人: 望月 新一
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740017/
• 关键词: Hodge理論; Kodaira-Spencer射; Diophantus幾何; 比較同型; 楕円曲線; 遠アーベル幾何学; クリスタリン; p進; 整数論; アラケロフ理論; ディオファントス幾何; テータ関数; ホッジ理論

平成12年度中にも、ここ数年研究している「楕円曲線のHodge-Arakelov理論」においていくつか大きな進展があった。この理論のもっとも基本的な定理は、複素数体やp進体のような局所体上の楕円曲線に対するHodge理論における「比較同型」の類似を、数体上大域的な、Arakelov理論的な枠組で実現していて、その重要な帰結の一つとして、数体上の楕円曲線に対する「数論的なKodaira-Spencer射」が構成できる。最終的な目標として、この理論をDiophantus幾何に応用したいのだが、数論的なKodaira-Spencer射に現れる「ガウス極」が本質的な障害となっている。従って、この「ガウス極」の除去が、この理論における、現時点での一番の関心事である。平成12年4月〜5月に掛けて、このガウス極を、ある「特別な局所的な状況」の時に除去するための新しい手法を開発した。この新しい手法によって、数論的なKodaira-Spencer射はp進クリスタリン的な議論によって計算され、その計算によってガウス極の除去以外にも面白い応用をいくつか発見している。なお、平成12年7月に、概念的に近い正標数の議論によって、Hodge-Arakelov理論の基本定理(=上述の「比較同型」)の興味深い別証明を見つけた。平成12年の後半から年度末に掛けて、上の新しい手法を、「特別な局所的な状況」だけでなく、(Diophan-tus幾何で関心の対象となる)数体上の楕円曲線の場合にも適用できるよう、様々な技術的な問題と取り組んだ。その中でもっとも基本的な問題は、「基点の扱い方」に関するもので、その基点の問題に関しては、以前研究していた「遠アーベル幾何学」を使うことにより、現在ようやく解決にこぎつけようとしているところである。

2000 年期间，“Hodge-Arakelov 椭圆曲线理论”取得了一些重大进展，我在过去几年中一直在研究该理论。该理论最基本的定理是将霍奇理论中的“比较同构”与全局阿拉克洛夫理论框架中的复数域和p进数域等局部域上的椭圆曲线进行类比，其重要后果之一是：可以为数域上的椭圆曲线构造“数论小平-斯宾塞态射”。作为最终目标，我想将这个理论应用到丢番图几何中，但是算术小平-斯宾塞态射中出现的“高斯极点”是一个重要的障碍。因此，去除这个“高斯极点”是该理论目前主要关注的问题。从2000年4月到2000年5月，我们开发了一种新方法，在某些“特殊的局部情况”下消除这个高斯极点。通过这种新方法，可以使用 p-adic 晶体参数来计算算术 Kodaira-Spencer 态射，并且除了消除高斯极点之外，还发现了一些有趣的应用。此外，2000年7月，我们通过讨论概念上相似的正特征，发现了Hodge-Arakelov理论基本定理（=上述“比较同构”）的一个有趣的替代证明。从2000年下半年到2000年底，我们不仅将上述新方法应用于“特殊的局部情况”，而且还应用于数域上的椭圆曲线的情况（我们对丢番图几何感兴趣）。各种技术问题使其适用于其他应用程序。其中最根本的问题是如何处理基点，我们最终试图利用我们之前研究过的“遥远阿贝尔几何”来解决基点问题。

项目成果

MOCHIZUKI,SHINICHI: "THE LOCAL PRO-P ANABELIAN GEOMETRY OF CURVES"INVENT.MATH.. 138,NO.2. 319-423 (1999)

望月真一：“局部 PRO-P 曲线几何”发明.数学.. 138，NO.2。

MOCHIZUKI,SHINICHI: "FOUNDATIONS OF P-ADIC TEICHMULLER THEORY"INTERNATIONAL PRESS/AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 529+xii (1999)

望月新一：“P-ADIC TEICHMULLER 理论的基础”国际出版社/美国数学会。

MOCHIZUKI,SHINICHI: "EXTENDING FAMILIES OF CURVES OVER LOG REGULAR SCHEMES"J.REINE ANGEW.MATH.. 511. 43-71 (1999)

Mochizuki, Shinichi：“在对数正则方案上扩展曲线族”J.REINE ANGEW.MATH.. 511. 43-71 (1999)