楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論

椭圆曲线的 Hodge-Arakelov 理论

基本信息

批准号：
13740008
负责人：
望月新一
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

14年度は、「Hodge-Arakelov理論」のDiophantus幾何への応用に向けて理論を具体的に定式化する上で大きな進展を見た。主な発見および新しく得た視点は次の通りである:(1)以前は、この応用を妨げている技術的な障害を取り除くための手段として、遠アーベル幾何によるアプローチを考えていたが、様々な理由により、13年度に検討していたアプローチでは不十分であることが判明した。しかし、遠アーベル幾何の精神を受け継ぎながら、Galois圏だけでなく、もっと一般的な圏や圏論によるアプローチが有効になる可能性が高いことが分かった。(2)この圏論的アプローチを実現するための技術ないしは「言語」として、圏論や、集合論における「宇宙」の概念を活用した宇宙際幾何(inter-universal geometry)を開発した。(3)圏論的なアプローチでは、遠アーベル幾何におけるGrothendieck予想に対応する様々な結果を証明した。その中で代表的なのは、log schemeの圏に関するものである。なお、最近では、このような結果を、archimedeanな構造が付いているlog schemeの場合に拡張し、またこの結果の延長線上にある理論の中で、数体上の大域的な数論的Frobenius射(=正標数の関数体上のp乗写像の類似物)という興味深い対象も構成している。(4)Hodge-Arakelov理論との関係でいえば、以前考えていたHodge-Arakelov理論の基本定理である「比較同型」よりも、theta convolutionという対象による定式化の方が、圏論的なアプローチとの相性がよいことが分かり、そのような観点による、圏論とHodge-Arakelov理論との「融合」を推進することにした。また、Diophantus幾何への応用と直接は関係ないが、正標数のコンパクト双曲型代数曲線のGrothendieck予想の証明の完成に向けて様々な技術的な進歩があった。

2014年，我们看到了该理论的具体制定方面的巨大进步，用于将霍奇 - 阿拉克洛夫理论应用于Diophantus几何形状。主要发现和新的观点如下：（1）以前，我们认为一种远征几何方法是消除阻碍此应用程序的技术障碍的一种手段，但是由于各种原因，我们在2013年所考虑的方法不足。但是，已经发现，尽管继承了遥远的阿贝尔几何学精神，但不仅基于加洛伊斯球体，而且更一般的球体和球体理论可能会变得有效。（2）我们已经开发了全世界的几何形状，该几何形状利用类别理论和设定理论的“宇宙”概念作为技术或“语言”，以实现这种面向球体的方法。（3）因果方法证明了与格罗伦迪克（Grothendieck）在远征几何形状中的预测相对应的各种结果。其中，最常见的是与日志方案有关的。最近，此类结果已扩展到具有阿基米德结构的对数方案的情况，并且在扩展到该结果的理论上，它也构成了一个有趣的对象，例如在数量场上的全局数值理论frobenius刺激（= p basked映射的类似物在正词的功能字段上的p掩盖图的类似物）。（4）就与Hodge-Arakelov理论的关系而言，发现使用Theta卷积的表述更适合于球体理论方法，而不是“比较同构”，即我先前考虑过的Hodge-Arakelov理论的基本定理，我们决定促进基于跨越理论的“融合”，这是基于跨越理论的“融合”。此外，尽管它与Diophantus在几何形状上的应用并不直接相关，但在完成Grothendieck预测的阳性决定因素的紧凑型双曲代数曲线的证明方面已经取得了各种技术进步。