楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論

椭圆曲线的 Hodge-Arakelov 理论

基本信息

批准号：
13740008
负责人：
望月新一
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

14年度は、「Hodge-Arakelov理論」のDiophantus幾何への応用に向けて理論を具体的に定式化する上で大きな進展を見た。主な発見および新しく得た視点は次の通りである:(1)以前は、この応用を妨げている技術的な障害を取り除くための手段として、遠アーベル幾何によるアプローチを考えていたが、様々な理由により、13年度に検討していたアプローチでは不十分であることが判明した。しかし、遠アーベル幾何の精神を受け継ぎながら、Galois圏だけでなく、もっと一般的な圏や圏論によるアプローチが有効になる可能性が高いことが分かった。(2)この圏論的アプローチを実現するための技術ないしは「言語」として、圏論や、集合論における「宇宙」の概念を活用した宇宙際幾何(inter-universal geometry)を開発した。(3)圏論的なアプローチでは、遠アーベル幾何におけるGrothendieck予想に対応する様々な結果を証明した。その中で代表的なのは、log schemeの圏に関するものである。なお、最近では、このような結果を、archimedeanな構造が付いているlog schemeの場合に拡張し、またこの結果の延長線上にある理論の中で、数体上の大域的な数論的Frobenius射(=正標数の関数体上のp乗写像の類似物)という興味深い対象も構成している。(4)Hodge-Arakelov理論との関係でいえば、以前考えていたHodge-Arakelov理論の基本定理である「比較同型」よりも、theta convolutionという対象による定式化の方が、圏論的なアプローチとの相性がよいことが分かり、そのような観点による、圏論とHodge-Arakelov理論との「融合」を推進することにした。また、Diophantus幾何への応用と直接は関係ないが、正標数のコンパクト双曲型代数曲線のGrothendieck予想の証明の完成に向けて様々な技術的な進歩があった。

2014年，我们在具体阐述“Hodge-Arakelov理论”在丢番图几何中的应用方面取得了重大进展。主要发现和新观点如下： (1) 此前，我们认为远阿贝尔几何方法是消除阻碍其应用的技术障碍的一种手段；基于这些原因，2013 财年考虑的方法被认为是一种方法。不足的。然而，在继承远阿贝尔几何精神的同时，我们发现不仅基于伽罗瓦范畴的方法，而且基于更一般范畴和范畴论的方法也可能是有效的。（2）作为实现范畴论方法的技术或“语言”，我们开发了宇宙间几何，它利用了范畴论和集合论中“宇宙”的概念。 (3)利用范畴论方法，我们证明了远阿贝尔几何中与格洛腾迪克猜想相对应的各种结果。最具代表性的就是与日志方案这一类相关。最近，我们将这些结果扩展到具有阿基米德结构的对数方案的情况，并且在作为该结果的扩展的理论中，我们开发了数字域上的全局算术Frobenius，它还构成了一个有趣的对象，称为a。态射（= 正特征函数域上的 p 幂映射的类似物）。 (4)关于Hodge-Arakelov理论，使用theta卷积的公式是一种范畴论方法，而不是我之前考虑的Hodge-Arakelov理论的基本定理“比较同构”。我决定从这个角度推动范畴论和Hodge-Arakelov理论的“融合”。尽管与其在丢番图几何中的应用没有直接关系，但为了完成正特征紧双曲代数曲线的格洛腾迪克猜想的证明，已经取得了各种技术进步。