Nonlocal regularity for a geometric heat flow with fractional integral operator

具有分数积分算子的几何热流的非局部正则性

基本信息

批准号：
21K03330
负责人：
三沢正史
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

分数階ソボレフ空間におけるSobolev不等式の最良定数を定める体積制限条件付き極値問題を考える. この条件付き極値問題に対する勾配流を分数階pソボレフv熱流と呼ぶ. 多孔媒質型作用素と分数階pラプラス型作用素の混合した二重非線形放物型分数階積分方程式の解として定まる. 今年度は,以下について研究した: (1) この研究計画の副産物として, 主要部のみからなる二重非線形放物型偏微分方程式の非負弱解の有限時間消滅とその漸近挙動を証明した(国際雑誌掲載済) (2) 二重非線形放物型分数階積分方程式の非負弱解の正値性伝播について研究した. 正値性伝播とは, ある時刻での正値部分(解のサポート)が時間とともに拡がることである. このためにとくに, 二重非線形放物型偏微分方程式の非負弱解の正値性伝播を証明した(プレプリント, 投稿準備中). この結果にもとづき, 分数階積分方程式の正値性伝播の論文を準備中である.これらは弱解の連続性の証明のキーとなる. (3) 二重非線形放物型分数階積分方程式の非負弱解連続性を研究した. このために, 二重非線形放物型偏微分方程式の非負弱解の連続性についていくつ結果を得た(論文準備中). (3) 偏微分pソボレフ熱流の時間無限大漸近挙動, 定常解(条件付き極値問題の解)への収束および解の体積集中現象, を明らかにした(論文準備中).この結果は, 分数階pソボレフ熱流の時間無限大漸近挙動の雛形となる. また, 一方,分数階p-Sobolev流の時間大域解を構成するために, 昨年度(令和3年度)に, 主要部のみをもつ二重非線形放物型分数階積分方程式の弱解の時間大域存在を証明した(論文投稿済, 2年査読結果待ち).

考虑具有体积约束条件的极值问题，该条件确定分数阶 Sobolev 空间中 Sobolev 不等式的最佳常数。此条件极值问题的梯度流称为分数阶 p Sobolev v 热流。和分数阶 p 拉普拉斯被确定为具有混合类型算子的双非线性抛物型分数阶积分方程的解。今年，我们研究了以下内容：（1）作为该研究计划的副产品，证明了仅由主部分组成的双非线性抛物型偏微分方程的非负弱解的有限时间消失和渐近行为（发表于国际期刊）（2）双非线性抛物型分式的非负解阶积分方程我们研究了弱解的正性传播。正性传播是指某一时刻的正值部分（对解的支持）随着时间的推移而扩展。为此，特别是，我们已经证明了双非线性抛物型偏微分方程非负弱解的正值传播（预印本，准备提交）基于此结果，我们正在准备一篇关于分数阶正值传播的论文。这些是证明弱解连续性的关键 (3) 为此，我们研究了双非线性抛物型分数阶积分方程的非负弱解的连续性。关于双非线性抛物型偏微分方程非负弱解的连续性得到了一些结果（论文准备中）我们阐明了问题解的收敛性和解的体积集中现象（论文准备中）。该结果为分数阶 p Sobolev 热流的无限时间渐近行为提供了模板。另一方面，为了构造分数阶 p-Sobolev 式的时间全局解，去年（Reiwa 3）我们构造了双非线性抛物型分数阶积分弱解的时间全局存在性仅证明了方程的主要部分（论文已提交，等待 2 年的同行评审结果）。