液晶の数理解析と変分問題の研究

液晶的数学分析和变分问题的研究

基本信息

批准号：
06740106
负责人：
三沢正史
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

1 数学の理論研究.液晶の電磁気学的平衡状態を記述するEricksenモデルの数理解析は調和写像型変分問題に帰着される.調和写像型変分問題に対する熱型勾配流を与える非線形放物型偏微分方程式を近似する後退差分型変分汎関数の最小化関数の族について次の結果を得た.(1)後退差分型変分汎関数のEuler-Lagrange方程式である後退差分偏微分方程式の解の族に対して、解の正則性を示す上で基本的役割を果たすHarnack不等式が近似に関して一様に成り立つ(Nonlinear Worldに掲載予定).粘性のある液晶の電磁気学的平衡状態を記述するEricksenモデル及び超電導の理論におけるGinzburg-Landauモデルの数理解析はp-調和写像型変分問題に帰着される(p>1).p-調和写像型変分汎関数を近似する退化型変分汎関数の変分問題に対応した熱型勾配流を記述する非線形退化放物型偏微分方程式の解の構成について次の結果を得た.(2)強解のクラスに対するa-prioriな評価の構成.特にあるweightを伴ったエネルギーの単調性を示す不等式が成り立つことを証明した.(京都大学数理解析研究所講究録掲載予定).(3)(3)の結果を基礎にして,時間大域的な弱解の構成とその解が(空間変数に関しての)一階微分とともに部分的にヘルダー連続であることを証明することに成功した(Courant研究所のF.H.Lin教授に評価され,投稿先を検討中).(4)有界な弱解のクラスに対するa-prioriな評価の構成(Rice Univ.のR.Hardt教授に評価され,投稿先を検討中).解の最良の部分的滑らかさ(解の不連続点(特異点)の集合の大きさがハウスドルフ測度の意味でどこまで小さくなるか)については考察中である.2.数値シミュレーション.液晶の変分問題(調和写像型変分問題)に対応した熱型勾配流を近似する後退差分型変分汎関数の最小化関数の族(離散的勾配流)による数値シミュレーションについては次のことを行なった.(1)空間次元が1の場合について離散的勾配流の時間発展の数値実験を数値解析用ソフト(MATHEMATICA)を使って行なった.空間次元が高次元の場合に離散的勾配流の時間発展の数値シミュレーションを行なうにはメモリ増設が必要である(現有メモリは10MB,スムーズに作動させるためには40MBが必要).また,そのプログラム作成は今後の課題である.

1数学理论研究。描述液晶电磁平衡状态的埃里克森模型的数学分析被简化为谐波映射型变分问题。给出谐波映射型变分问题的热梯度流的非线性抛物线偏振近似微分方程的后向差分变分泛函的最小化函数。 (1) 对于后向差分偏微分方程组的解，即后向差分变分泛函的欧拉-拉格朗日方程，我们发现满足近似值的 Harnack 不等式一致成立。将描述粘性液晶电磁平衡状态的Ericksen模型和超导理论中的Ginzburg-Landau模型的数学分析简化为p谐波变分问题（p>1）。 -关于非线性简并抛物型偏微分方程的解的构造，获得了以下结果，该方程描述了与近似调和映射型变分泛函的简并变分泛函的变分问题相对应的热梯度流（2）类的先验评估的结构。强大的解决方案。特别是我们证明了表示具有一定权重的能量单调性的不等式成立（预定在京都大学数学科学研究所的讲义记录中发表） (3) 根据(3)的结果，组成。解的和解是一（相对于空间变量）。成功证明了Hölder随着阶次微分是部分Hölder连续的（由Courant研究所的F.H. Lin教授认可，目前正在考虑提交到哪里）。（4）a-一类有界弱解的先验评估。配置（米解决方案的最佳部分平滑度（在 Hausdorff 度量意义上，解决方案的不连续性（奇异性）集合的大小有多小）。 2.数值模拟一族后向差分型变分泛函的最小化函数（离散梯度流）数值模拟。 (1) 在空间维数为1的情况下，利用数值分析软件(MATHMATICA)进行了离散梯度流时间演化的数值实验。为了对离散梯度流时间演化进行数值模拟，附加了需要内存（当前内存为10MB，但需要40MB才能顺利运行）。此外，为此创建程序是一个未来的问题。