高次元自己共分散行列の縮小推定

高维自协方差矩阵的简化估计

• 批准号: 17J06514
• 负责人: 伊藤 翼
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-26 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J06514/
• 关键词: 小地域推定; 高次元共分散行列; 線形混合効果モデル; 信頼領域; 多変量解析; 高次元統計学

サンプルサイズが小さい地域の何らかの平均値を推定する際、標本平均では不安定になることを小地域推定問題といい、地域効果を組み込んだ混合効果モデルから得た予測量が、他地域の情報も利用することで安定した推定量となる。そこで、多変量混合効果モデルについて、地域効果の共分散行列の構造が完全に未知である設定のモデルを考察した。モデルに基づいた予測量を得るためには、地域効果の共分散行列を推定する必要がある。そこで、モーメント法に基づいた推定量を共分散行列が持つべき性質を満たすように修正したものを提案した。また、多変量モデルの予測量がもつ予測リスクを評価するために、平均二乗誤差（MSE）を漸近的に評価し、その2次漸近不偏推定量を導出した。また、リスクの指標としては、信頼区間（領域）がよく用いられる。単純な信頼領域は、母数の点推定量とそのMSEを用いて容易に構成できるが、それが真の値を含む確率(coverage probability, CP)が信頼水準と同等、またはそれ以上になる保証がない問題がある。そこで、CPが信頼水準を達成する信頼領域の構成を行った。具体的には、マハラノビス距離で与えられる統計量の特性関数を漸近的に評価することで、その漸近分布をもとめ、補正後の統計量が自由度がデータの次元に等しいカイ二乗分布に従うための補正項をもとめた。またこの補正項は、変量効果の共分散行列の推定量の逆行列を含むため、特に高次元の場合に、推定量の固有値が0に近いと不安定になるといった問題がある。そこで、推定量を固有値が0から離れた値になるように修正したものを提案した。以上の信頼領域は、リスクの近似値を用いて陽に構成できるため、数値計算が容易に、短時間に行えるといった利点を持っている。数値実験の結果、単純な信頼領域のCPが信頼水準を達成しない一方で、提案した信頼領域がCPを達成することが確認できた。

当估计样本量较小的区域的平均值时，样本平均值称为小区域估计问题，并且通过使用其他区域的信息，从包含局部效应的混合效应模型获得的预测量是稳定的估计器。因此，对于多元混合效应模型，我们检查了一个模型，其中区域效应协方差矩阵的结构完全未知。为了获得基于模型的预测，有必要估计区域效应的协方差矩阵。因此，我们基于矩方法提出了一个修改版本的估算器，以满足协方差矩阵应具有的属性。此外，为了评估多元模型的预测量的预测风险，对均方误差（MSE）进行了渐变误差（MSE），并得出了二次无偏估计量。此外，置信区间（区域）通常被用作风险指标。可以使用参数及其MSE的点估计器轻松构建一个简单的信任区域，但是存在一个问题，即无法保证包含真实值的覆盖率概率（CP）等于或大于置信度。因此，我们已经建立了一个CP达到信任水平的信任领域。具体而言，通过渐近评估Mahalanobis距离给出的统计量的特征功能，确定了渐近分布，并确定校正项，以便校正后的统计量遵循卡方分布，其中自由度等于数据的维度。此外，由于该校正项包括随机效应的协方差矩阵估计量的逆矩阵，因此存在一个问题，尤其是在较高尺寸的情况下，如果估计值的特征值接近零，则它会变得不稳定。因此，我们建议对估计量进行修改，以使特征值与零相距甚远。上述信任区域可以使用风险的近似值明确构建，并且具有在短时间内可以轻松执行数值计算的优势。数值实验证实，尽管简单信任区域中的CP无法达到置信度，但提议的信任区域可实现CP。

项目成果

多変量小地域推定問題

多元小区域估计问题

• 发表时间: 2018
• 作者: Megumi Matsumoto;Kyosuke Araki;Sayaka Nishimura;Kazuma Hayashi;Kazuhiro Shiozaki;Teruyuki Nakanishi;Atsushi Yamamoto.;伊藤翼
• 通讯作者: 伊藤翼

On Measuring the Variability of Small Area Estimators in a Multivariate Fay-Herriot Model

关于测量多元 Fay-Herriot 模型中小区域估计量的变异性

• 发表时间: 2017
• 作者: Megumi Matsumoto;Kyosuke Araki;Sayaka Nishimura;Kazuma Hayashi;Kazuhiro Shiozaki;Teruyuki Nakanishi;Atsushi Yamamoto.;伊藤翼;伊藤翼
• 通讯作者: 伊藤翼