保型表現・L関数の研究

自守表示和L函数的研究

基本信息

批准号：
07740021
负责人：
池田保
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740021/
关键词：
保型表現 L関数 Eisenstein級数

项目摘要

GL(2)の保型表現の3つ組から定義されるいわゆるtripe L-functionはP. B. Garrettによる積分表示の発見(1985)により、その研究の道が開かれた。筆者が学位論文で決定したtripe L-functionの極の位置をを用いて保型形式の持ち上げの存在を示すにはtripe L-functionのgamma因子を計算する必要がある。この計算については次のような結果を得て現在論文を執筆中である。(1)zeta積分の最大公約数として定義されたgamma因子はLanglands予想によって予言されていたものと極の位置が完全に一致している。(2)特に不分岐な主系列表現の3つ組、あるいは離散系列表現の3つ組に対応する場合にはLanglands予想によって予言されていたgamma因子はzata積分として表される。(2)において離散系列表現の1つの重みが他の2つの重みより大き場合にはgamma因子の形が異なることが予想されていたがこれを肯定的に解決した。一方、古典群上のEisenstein級数を詳しく研究するには、いわゆるtheta関数との関連を調べることが不可欠である。具体的には、Eisenstein級数の特殊値あるいは留数をtheta関数によって表示するSiegel-Weil型の公式を示すことが重要である。これについては、特殊な場合にEisenstein級数の留数をtheta関数で表すSiegel-Weil型の公式を証明した論文が雑誌に掲載されることが決まっている。さらに一般的な場合にこの公式を拡張することは将来の課題である。その際筆者が計算したEisenstein級数のFourier-Jacobi係数の公式は有用であると思われる。

P. B. Garrett (1985) 发现的积分表示为所谓的三重 L 函数的研究铺平了道路，三重 L 函数是根据 GL(2) 自守表示的三元组定义的。为了利用本文确定的三重L函数的极点位置证明自守形式提升的存在性，需要计算三重L函数的伽马因子。关于这个计算，我们得到了以下结果，目前正在写一篇论文。 (1) 伽玛因子定义为 zeta 积分的最大公约数，其极点位置与朗兰兹猜想的预测完全匹配。 (2) 特别是当它对应于无分支主序列表示的三元组或离散序列表示的三元组时，朗兰兹猜想预测的伽玛因子可以表示为zata积分。在（2）中，如果离散序列表示的一个权重大于其他两个权重，则预计伽马因子的形状会有所不同，但这已得到积极解决。另一方面，要详细研究经典群的爱森斯坦级数，有必要研究与所谓theta函数的关系。具体来说，重要的是要展示一个通过 theta 函数表达爱森斯坦级数的特殊值或留数的 Siegel-Weil 型公式。对此，决定在期刊上发表一篇论文，证明在特殊情况下用theta函数表示爱森斯坦级数的留数的Siegel-Weil型公式。将这个公式扩展到更一般的情况是一个未来的项目。当时，作者计算的爱森斯坦级数的傅立叶-雅可比系数公式似乎有用。