Representation theoretic research on periods of automorphic forms

自同构周期的表示论研究

基本信息

批准号：
22K03228
负责人：
池田保
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03228/
关键词：
保型形式二次形式エルミート形式保型表現保型的L関数周期

项目摘要

1990 年代の初め，Gross とPrasad は特殊直交群の組の上の保型形式の周期に関する一連の予想を提出した．これを精密化して，市野篤史氏（京都大学）と筆者は特殊直交群上の保型形式の周期をある種のＬ函数の値と具体的に関係付ける明示的な周期公式を予想として提出した．これは現在では市野・池田予想として広く知られており，保型形式の周期の理論の一つの大きな目標となっている．このように保型形式の周期が市野・池田型の公式によりL関数の特殊値と結び付けられるには問題の周期が局所的に重複度1の条件を満たすことが必要であると考えられる。局所的にそのような重複度1の条件が成り立つとき、市野・池田型の公式には局所的な因子が現れ、それは局所体上の代数群の表現を実現する特殊関数とも考えられる。本研究ではこのような視点から大域的な周期の研究、局所体上の特殊関数の研究を行っており、とくに退化主系列表現に付随したSiegel級数の挙動を研究している。エルミート形式のSiegel級数はGross-Keating不変量，変形Gross-Keating不変量，および補助的なHasse不変量で決定されると考えられる。エルミート形式にGK三つ組の構成に関しては論文を執筆し、近々投稿する予定である。また、二次形式の拡張GKデータについても、有限体上の交互増大フィルター付きの二次空間対を経由することによりより簡明な構成をすることができたので、これに関する論文を現在執筆中である。このように局所体上の対象であるSiegel級数が有限体上の対象の不変量に還元されることは新しい知見であり興味深い発見であると思う。今年度はコロナ禍により研究集会等に対面で参加することはほとんどできなかったが、主に研究用の書籍を購入することにより研究環境の改善を図った。

20 世纪 90 年代初，Gross 和 Prasad 提出了一系列关于特殊正交群集合上自同构形式的周期性的猜想。通过改进这一点，Atsushi Ichino（京都大学）和作者提出了一个显式周期性公式，该公式将特殊正交群上的自守形式的周期性与某个 L 函数的值具体联系起来作为猜想．这现在被广泛称为 Ichino-Ikeda 猜想，并且是自守形式循环理论的主要目标之一。这样，为了使用 Ichino-Ikeda 公式将自守形式的周期与 L 函数的特殊值相关联，认为所讨论的周期局部满足重数 1 的条件是必要的。当这样的重数1的条件局部成立时，Ichino-Ikeda公式中出现局部因子，该公式也可以被认为是实现局部域上代数群表达的特殊函数。在本研究中，我们从这个角度研究全局周期和局部场上的特殊函数，特别是我们研究与简并主序表示相关的西格尔级数的行为。 Hermitian 形式的 Siegel 级数被认为是由 Gross-Keating 不变量、修改的 Gross-Keating 不变量和辅助 Hasse 不变量决定的。我计划写一篇关于 Hermitian 形式的 GK 三元组结构的论文并尽快提交。此外，我们能够通过在有限域上使用具有交替递增滤波器的二次空间对来为二次扩展 GK 数据创建更简单的结构，因此我们目前正在撰写有关该主题的论文。我认为这是一个新的、有趣的发现，西格尔级数（局部域上的对象）可以简化为有限域上对象的不变量。今年，由于新冠疫情的影响，几乎不可能参加面对面的研究会议，但我们主要通过购买研究书籍来改善研究环境。