対称空間上の測地線を用いた連分数論の一般化、及び　Ｌ－関数の特殊値の研究への応用

使用对称空间上的测地线推广连分式理论及其在 L 函数特殊值研究中的应用

基本信息

批准号：
18J12744
负责人：
戸次鵬人
金额：
$ 1.09万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は，一般の代数体の場合のHeckeの積分公式のコホモロジー論的解釈の研究を行った．ここで，Heckeの積分公式というのは，g次代数体のゼータ関数を，SL(g)のEisenstein級数のトーラス周期として表す解析的な公式である．このような公式は，代数体が総実体やCM体などの特別な場合には，Eisensteinコサイクルや新谷コサイクルなどと呼ばれる特別なSL(g)の群コサイクルを用いて代数的に解釈できることが，HarderやSczechなどによる様々な先行研究によって知られていたが，総実体やCM体とは限らない一般の代数体を扱えるコホモロジー論的解釈は知られていなかった．本年度の研究では，最近の坂内-萩原-山田-山本4氏による総実体の新谷コサイクルの幾何学的な新構成法や，Vlasenko-Zagierによる実２次体のゼータ関数の非臨界的な特殊値を扱う手法に着想を得て，一般の代数体の場合のHeckeの積分公式のコホモロジー論的解釈を与えると期待される，新たな新谷コサイクルを構成することに成功した．具体的には，まず坂内-萩原-山田-山本の手法を応用し，Vlasenko-Zagierによるコサイクルの一般化となる新谷コサイクルを，複素射影空間と関連するある空間上の層のSL(g)-同変チェックコホモロジー群に構成した．そして，構成した新谷コサイクルがSL(g)-同変コホモロジー群の元を定めることを示すために，SL(g)-同変チェックコホモロジー群とSL(g)-同変コホモロジー群の同型を示した．以上により構成した新谷コサイクルが一般の代数体の場合のHeckeの積分公式のコホモロジー論的解釈を与えていることを示すには，任意のg次代数体のゼータ関数の特殊値がこの新谷コサイクルの特殊化として得られることを示す必要がある．このような特殊化の構成と計算が今後の課題となる．

今年，我们研究了一般代数域赫克积分公式的上同调解释。这里，赫克积分公式是将g阶代数场的zeta函数表达为SL(g)的爱森斯坦级数的环面周期的解析公式。在代数域是全实体或 CM 域的特殊情况下，此类公式可以使用 SL(g) 的特殊群余循环（称为艾森斯坦余循环或 Shintani 余循环）进行代数解释，尽管这是从 Harder 和 Sczech 之前的各种研究中得知的。，没有已知的上同调解释可以处理一般代数域，不一定是全实体或 CM 域。今年的研究重点是Sakauchi-Hagiwara-Yamada-Yamamoto最近提出的全实体Shintani余循环的几何新构造方法，以及受Vlasenko-Zagier方法启发的实二次域zeta函数的非临界特殊方法。为了处理值，我们成功构造了一个新的 Shintani 余循环，有望为一般代数域的 Hecke 积分公式提供上同调解释。具体来说，我们首先应用Sakauchi-Hagiwara-Yamada-Yamamoto方法，计算Shintani余循环，它是Vlasenko-Zagier余循环的推广，通过SL(g)-构造成等变检查上同调群。为了证明所构造的Shintani余循环决定了SL(g)-等变上同调群的元素，我们定义了SL(g)-等变检查上同调群和SL(g)-等变上同调群的同构。。为了证明上面构造的 Shintani 余循环给出了一般代数域 Hecke 积分公式的上同调解释，我们需要知道任意 g 阶代数域的 zeta 函数的特殊值是需要证明这可以是作为循环的专门化而获得。这种专业化的配置和计算将是未来工作的主题。