保型表現・L関数の研究

自守表示和L函数的研究

基本信息

批准号：
08740018
负责人：
池田保
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740018/
关键词：
automorphic form Automorphic representation L-function 保型形式保型表現 L関数

项目摘要

P.B.Garrettによる積分表示の発見(1985)により、GL(2)の保型表現の3つ組から定義されるいわゆるtriple L-functionの研究の道が開かれた。筆者が学位論文で決定したtriple L-functionの極の位置を用いて保型形式の持ち上げの存在を示すにはtriple L-functionのgamma因子を計算する必要がある。この計算については次のような結果を得て現在論文を投稿中である。(1)zeta積分の最大公約数として定義されたgamma因子はLanglands予想によって予言されていたものと極の位置が完全に一致している。(2)特に不分岐な主系列表現の3つ組、あるいは離散系列表現の3つ組に対応する場合にはLanglands予想によって予言されていたgamma因子はzeta積分として表される。特に、(2)において離散系列表現の1つの重みが他の2つの重みより大きい場合には、そうでない場合と比べてgamma因子の形が異なることが予想されていたがこれを肯定的に解決した。また、離散系列表現の3つ組の場合には局所関数等式が精密な形で成り立つことを示した。この計算をtriple L-functionの特殊値の研究に応用することは将来の問題である。一方、古典群上のEisenstein級数を許しく研究するには、いわゆるtheta関数との関連を調べることが不可欠である。具体的には、Eisenstein級数の特殊値あるいは留数をtheta関数によって表示するSiegel-Weil型の公式を示すことが重要である。これについては、特殊な場合にEisenstein級数の留数をtheta関数で表すSiegel-Weil型の公式を証明した論文を雑誌に発表した。さらに一般的な場合にこの公式を拡張することは将来の課題である。その際筆者が計算したEisenstein級数のFourier-jacobi係数の公式は有用であると思われる。

P.B. Garrett (1985) 发现的积分表示为研究由 GL(2) 自守表示三元组定义的三重 L 函数开辟了道路。为了利用作者在论文中确定的三重L函数的极点位置证明自守形式提升的存在性，需要计算三重L函数的伽马因子。关于这个计算，我们得到了以下结果，目前正在提交论文。 (1) 伽玛因子定义为 zeta 积分的最大公约数，其极点位置与朗兰兹猜想的预测完全匹配。 (2) 特别地，当朗兰兹猜想预测的伽玛因子对应于无分支主序列表示的三元组或离散序列表示的三元组时，它可以表示为zeta积分。特别是，在（2）中，当离散序列表示的一个权重大于其他两个权重时，预计伽玛因子的形状与情况并非如此的情况相比会有所不同，但是这得到了积极解决。我们还表明，在具有离散序列表示的三元组的情况下，局部函数方程保持精确的形式。将这种计算应用于三重L函数的特殊值的研究是一个未来的问题。另一方面，为了以可接受的方式研究经典群的爱森斯坦级数，有必要研究与所谓的 theta 函数的关系。具体来说，重要的是要展示一个通过 theta 函数表达爱森斯坦级数的特殊值或留数的 Siegel-Weil 型公式。对此，我在期刊上发表了一篇论文，证明了一个Siegel-Weil型公式，在特殊情况下将爱森斯坦级数的留数表示为theta函数。将这个公式扩展到更一般的情况是一个未来的项目。当时，作者计算的爱森斯坦级数的傅立叶-雅可比系数公式似乎有用。