正規新谷Ｌ関数の研究と代数的整数論への応用

正规Shintani L函数的研究及其在代数数论中的应用

基本信息

批准号：
13J07323
负责人：
佐藤信夫
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2015-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

平成26年度は、代数体のアーベル拡大に付随する部分ゼータ関数の値についてのザギエ氏の予想の精密化の研究を進めた。具体的には、ザギエ氏が虚2次体のアーベル拡大の部分ゼータ関数の正整数点での値の精密化として定義した量が新谷L関数の負整数点での偏微分値と本質的に一致することを示した。これによって複素素点が一つであるような代数体の適当な条件を満たすアーベル拡大の場合にザギエ氏の定義した精密版の部分ゼータ値を定義し、予想を定式化した。このようなゼータ値の精密化は、多変数の新谷L関数の研究によって系統的に理解が進んできており、古典的な部分ゼータ値からは得られない数論的情報を含むため非常に重要と考えられる。また新谷L関数の研究において、代数的な扇から新谷L関数を対応付けるために新谷コサイクルが有用である。新谷コサイクルはこれまで総実な代数体の場合にのみ知られており、同様の方法は複素素点を持つ代数体に適用できない。広瀬氏(京都大学)との共同研究において、非常に一般的な設定からスタートすることで、一般の代数体の場合に有効な新谷コサイクルを構成する方法を考案した。この方法は総実代数体の場合にも、既知のものを含むより広い新谷コサイクルのクラスを与える。新谷L関数は次数が1の場合古典的なフルビッツレルヒゼータ関数に他ならない。川島氏(大阪大学)、広瀬氏(京都大学)との共同研究で、多重対数関数の特殊値の無理性に関するニキーシン氏の結果を、複数のフルビッツレルヒゼータ関数値が張るQベクトル空間の次元の下からの評価へと一般化した。ここで用いた手法は比較的汎用性が高く類似した他の問題に対しても応用が期待できるため、意義深いと考えられる。

2014年，我们进行了研究，以完善扎吉尔关于与代数域阿贝尔展开相关的部分zeta函数值的猜想。具体来说，Zagier先生定义的虚二次场阿贝尔扩张的偏zeta函数正整数点处值的细化量本质上是Shintani L函数在负整数点处的偏微分值结果表明，它们是匹配的。因此，我们定义了 Zagier 先生定义的精确版本在阿贝尔扩张的情况下的部分 zeta 值，该阿贝尔扩张满足代数域（例如一个复点）的适当条件，并提出了一个猜想。这种 zeta 值的细化已经通过对多元 Shintani L 函数的研究得到了系统的理解，并且被认为极其重要，因为它包含了经典部分 zeta 值无法获得的算术信息。此外，在 Shintani L 函数的研究中，Shintani 余循环对于关联代数扇中的 Shintani L 函数非常有用。迄今为止，新谷余循环仅适用于实代数域，类似的方法不能应用于具有复点的代数域。在与 Hirose 先生（京都大学）的联合研究中，我们设计了一种从非常一般的设置开始构建对一般代数领域有效的 Shintani 余循环的方法。该方法还为总实代数域提供了更广泛的 Shintani 余循环，包括已知的余循环。 Shintani L 函数只不过是阶数为 1 时的经典 Hurwitzlerch zeta 函数。在与 Kawashima 先生（大阪大学）和 Hirose 先生（京都大学）的联合研究中，我们将 Nikishin 先生关于多对数函数特殊值的无理性的结果应用于由多个 Hurwitzlerch zeta 跨越的 Q 向量空间的维度从下面评估函数值变得很常见。这里使用的方法被认为是重要的，因为它相对通用，并且有望应用于其他类似的问题。