マルチグリッド前処理共役勾配法の研究

多重网格预处理共轭梯度法研究

基本信息

批准号：
06680305
负责人：
小柳義夫
金额：
$ 1.34万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

2次元矩形領域におけるPoisson方程式を、差分法によって離散化した際に得られる大規模連立一次方程式の新しい解法を提案し、その有効性を示した。それは、マルチグリッド法を共役勾配法の前処理として利用する方法で、実際数値計算で高速であるのみならず、前処理された係数行列の固有値分析から、その理由を立証した。とくに、拡散係数に1000〜10000程度のギャップが存在する場合では、マルチグリッド法は収束しないが、マルチグリッド前処理共役勾配法は収束し、しかもその収束までの反復回数は、メッシュを細かくしても増大しないことを示した。さらに、この解法を移流拡散方程式に拡張した。この場合係数行列が非対称となるので、マルチグリッド前処理二乗共役勾配法となる。移流がある場合のマルチグリッド法は、粗いメッシュ上でセルペクレ数が2を越え、行列がM行列でなくなる困難があるが、粗いメッシュ上では風上差分を用いることにより、元の方程式の離散化の精度は保ちながら、安定な解法を得ることに成功した。今後の課題としては、拡散係数に著しい異方性がある場合のPoisson方程式の問題がある。とくに異方性が10^3以上ある場合、マルチグリッド前処理共役勾配法は収束しない。また、非矩形領域への適用も今後の課題である。

我们提出了一种新的解决方案，以确定当二维矩形区域的泊松方程通过差异方法离散并证明其有效性时，获得的大规模同时线性方程式。该方法使用多机方法作为共轭梯度方法的预处理，不仅在数值计算中很快，而且还通过对预处理系数矩阵的特征值分析证明了这一点的原因。特别是，当扩散系数中的差距约为1000至10000时，Multigrid方法不会收敛，但是MultiGrid预处理收敛梯度方法会收敛，并且即使将网格更细。此外，该解决方案扩展到对流扩散方程。在这种情况下，系数矩阵变为不对称，因此使用了Multigrid预处理平方共轭梯度方法。在对流的情况下，多机方法在粗网格上超过2的蛇形数很难，而矩阵不是m矩阵，而是通过在粗网格上使用上风差，我们成功地获得了稳定的解决方案，同时保持了原始方程的离散化精度。未来的挑战是当扩散系数有明显的各向异性时，泊松方程的问题。特别是，当各向异性大于10^3时，多方预处理共轭梯度方法不会收敛。此外，对非矩形区域的应用将是未来的问题。