連立一次方程式に対する数値解法の誤差解析

联立线性方程数值解的误差分析

基本信息

批准号：
06650074
负责人：
杉原正顯
金额：
$ 1.28万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-06650074/
关键词：
連立一次方程式誤差解析条件数共役勾配法固有値分布

项目摘要

連立一次方程式に対する数値解法の誤差解析に関連するつぎのような研究を行った.1.1-ノルムに関する条件数の推定法の比較研究1-ノルムに関する条件数の推定法として有名な3つの方法(LINPACKなどにおいて用いられてきた方法,わが国で開発された塚本-名取の方法,LAPACKで用いられているHagerの方法)を計算時間,精度の面から比較した.計算時間の面からは,塚本-名取の方法がもっともよく,精度の面からはHagerの方法がもっともよかった.また,どの方法の計算時間も方程式を解く時間に比べると無視できる時間内に推定値が得らた.したがって,Hagerの方法を1-ノルムに関する条件数の推定法として用いるべきであるという結論が得られた.ただし,塚本-名取の方法はプログラミングが簡単であり簡便な方法としての存在意義はある.2.共役勾配法の誤差の複雑な振る舞いの解明近年Greenbaumによって確立された共役勾配法の後退誤差解析の手法を用いて,共役勾配法の誤差の複雑な振舞いと係数行列の固有値の分布との関係について調べることを目標として,研究を行った.その結果,後退退誤差解析の手法によって共役勾配法の誤差の複雑な振る舞いをある程度再現できることが分かった.しかし,この手法においては元の行列の次数をNとするとき10N程度の次数の行列の計算を正確に行う必要があり,計算時間や記憶容量の点で多くの実験が行えなかった。そののため,係数行列の固有値の分布との関係については従来から知られている結果「固有値が密集していれば収束が速い」以上のものは残念ながら得られなかった.

我们进行了以下与联立线性方程数值解的误差分析相关的研究： 1. 1-范数相关条件数估计方法的比较研究 1-范数相关条件数估计的三种著名方法（LINPACK The Tsukamoto）。 -日本开发的Natori方法、LAPACK中使用的Hager方法等。就计算时间而言，Tsukamoto-Natori方法是最好的，而就准确度而言，Hager方法是最好的。并且，将每种方法的计算时间与方程的计算时间进行比较，在一段时间内得到了估计值。与求解方程所花费的时间相比，这可以忽略不计。因此，应该使用 Hager 方法作为估计 1-范数条件数的方法。然而，Tsukamoto-Natori 方法易于编程，并且作为一种简单的方法有其存在的理由。 2．阐明共轭梯度法中误差的复杂行为使用共轭梯度法的后向误差分析方法，我们研究了共轭梯度法误差的复杂行为与系数矩阵特征值分布之间的关系。结果发现，回归误差分析方法可以在一定程度上重现共轭梯度法误差的复杂行为。然而，在该方法中，原始矩阵的阶为当N为矩阵时10N量级左右，需要精确计算矩阵，很多实验由于计算时间和存储容量而无法进行。因此，关于系数矩阵的特征值分布之间的关系，我们遗憾的是无法获得超出常规已知结果“特征值越接近，收敛越快”的结果。