可積分系理論に基づく組合せ論研究の創始

基于可积系统理论的组合学研究的起源

基本信息

批准号：
16654020
负责人：
中村佳正
金额：
$ 2.11万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

可積分系戸田方程式のタウ関数解として,種々の組合せ論的数のハンケル行列式が計算可能となる.また,qdアルゴリズムの形に書いた離散時間戸田方程式によってディック路の重みの総和の数え上げが実現される.以上の研究を出発点に,本研究課題は,可積分系の視点から組合せ論研究を創始するものである.最終年度である,平成18年度は研究代表者の研究室において以下の進展があった.モズキン数は座標平面の高さゼロの2点を結ぶ上半面のある種のグラフ(モズキン路)の数え上げに関る数である.重みつきモズキン路とその連分数表示を通じて,ある多項式を定める3項漸化式が導出される.グラフの性質より多項式の直交性が証明され,さらに,多項式の行列式表示を通じてモーメントのなす行列式が重みつきモズキン路の総和を表すことがわかる.さらに,モズキン路に関る直交多項式の直交関係式を2個の任意パラメータを含むように拡張することでファバード路と呼ばれるグラフとモズキン路を連接したグラフに関連する直交多項式が導出されることが示される.直交多項式は一般に行列式表示をもつ.モーメントの離散的なスペクトル変形は直交多項式の変形,さらには,行列式の変形を引き起こすが,この行列式の変形方程式が,離散可積分系に他ならない.このように,本研究を通じて,ディック路,シュレーダー路,モズキン路,ファバード路などの種々の平面グラフの数え上げの問題を直交多項式や離散可積分系を通じて統一的に理解できるようになった.

作为可积Toda方程的tau函数解，可以计算各种组合数的Hankel行列式。此外，以qd算法形式编写的离散时间Toda方程可以用于计算Dick路径权重的总和。以上述研究为起点，本研究项目将从可积系统的角度开始组合学研究。最后一年，即2006年，将是研究主任实验室取得了以下进展。莫兹金数是与连接零高度的两点的坐标平面上半部分上的一类图（莫兹金路径）的计数有关的数。它是一个加权的数通过Mozkin路径及其连分式表示，推导出定义某个多项式的三元递推公式。从图的性质证明了多项式的正交性，并且通过多项式的行列式表示，得到了推导了定义某个多项式的三元递推公式。可以看出，Mozkin 路径形成的行列式表示加权的 Mozkin 路径之和。此外，通过将与 Mozkin 路径相关的正交多项式的正交关系展开为包括两个任意参数，可以得到称为 Fabard 路径的图结果表明，导出了与连接的 Mozkin 路径图相关的正交多项式。正交多项式通常具有行列式表示。离散谱变形会引起正交多项式的变形，进而导致行列式的进一步变形，但这个行列式的变形方程只不过是一个离散可积系统。因此，通过本研究，我们证明了迪克路径，使得行列式的变形方程成为可能。通过正交多项式和离散可积系统，统一理解雷达路径、Mozkin路径、Fabard路径等各种平面图的枚举问题。