非線形可積分系の応用解析特に線形計画問題の内点アルゴリズムの開発

非线性可积系统的应用分析，特别是线性规划问题的内点算法的开发

基本信息

批准号：
03804005
负责人：
中村佳正
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Gifu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1991
资助国家：
日本
起止时间：
1991 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

平成3年度に本研究課題と関連するテ-マについて学術雑誌に発表投稿した論文は11にあげる4編である。以下順を追って概説する。第一論文は本研究課題の成果を盛り込むなど部分的な修正を経て出版された。初期値として与えたエルミ-トの行列の固有値からなる対角行列を安定な平衡点とする3次の非線形性をもつラックス型の力学系を発見している。第二論文は線形計画問題の多項式時間の点内アルゴリズムとして著名なカ-マ-カ-法を連続化した非線形常微分方程式が第一論文の力学系のある種の拡張に含まれる事、すなわち可積分系と位置づけられる事を明らかにした。同時に、この方程式はハミルトン構造を持つ勾配系であると結論している。これは可積分系の応用解析による数理計画法研究の基礎を与える成果である。線形計画問題に古典力学のルジャンドル変換が現われるが、類似の構造が確率分布族の微分幾何学(いわゆる情報幾何学)にも存在する事が知られいるが、第三論文では、正規分布と多項分布のなすリ-マン多様体の勾配系を考察し、ともに完全積分可能なハミルトン方程式である事を証明している。この著しい事実の数学的統計学的意味は未だ解明されてない。第四論文では種々の連続離散の確率分布族のなすリ-マン多様体上の勾配方程式系が多様体の双対座標を用いて線形化できる事を示している。これにより勾配系の解軌道は平衡点に指数関数的に収束する事がわかる。応用として同様な定式化によりロ-ゼンブロックの非線形計画問題を解く勾配系が得られている。以上の結果と関連する話題は2つの国際会議、6大学・学会・研究会での構演において発表された。また、研究の進展にあたって計算機実験の他9大学・研究機関からのべ12名の研究者を招いて専門的知識の提供を受け研究情報交換を行った。以上の研究活動の一部に対する本科研究費補助金からの援助に感謝する。

1991年，11篇论文中有4篇发表并提交给与该研究主题相关的学术期刊。以下是分步概述。第一篇论文在部分修改后发表，包括纳入该研究项目的结果。我们发现了一个具有三阶非线性的Lax型动力系统，其稳定平衡点是一个对角矩阵，该对角矩阵由作为初始值给出的埃尔米特矩阵的特征值组成。第二篇论文指出，非线性常微分方程是 Kerr-Marker 方法的连续统，该方法因线性规划问题的多项式时间点到点算法而闻名，包含在动力系统的某种扩展中第一篇论文阐明了它可以被视为一个可积系统。同时，他们得出结论，该方程是具有哈密顿结构的梯度系统。这一结果为通过可积系统的应用分析进行数学规划研究提供了基础。经典力学的勒让德变换出现在线性规划问题中，众所周知，概率分布族的微分几何（所谓的信息几何）中也存在类似的结构。我们考虑由分布，并证明两者都是完全可积的哈密顿方程。这一显着事实的数学和统计意义尚未阐明。第四篇论文表明，由各种连续和离散概率分布族形成的黎曼流形上的梯度方程组可以使用流形的双坐标进行线性化。这表明梯度系统的解轨迹以指数方式收敛到平衡点。作为应用，使用类似的公式获得了用于求解 Rosen 块非线性规划问题的梯度系统。上述成果及相关主题在两次国际会议和六所大学、学术会议和研究小组上发表。除计算机实验外，还邀请了来自9所大学和研究所的12名研究人员，随着研究的进展提供专业知识并交流研究信息。我们对研究生院研究补助金为上述一些研究活动提供的支持表示感谢。