端的ケーラー計量への力学系的アプローチ

简单科勒度量的动力系统方法

• 批准号: 14654012
• 负责人: 小林 亮一
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-14654012/
• 关键词: Chow; Mumford安定性; スカラー曲率; 端的ケーラー計量; 小林; Hitchin対応; モンジュアンペール方程式; Chow-Mumford安定性; 射影的埋め込み; Chow計量; Prescribed Ricci方程式; Monge-Ampere方程式; ヒッチン・小林対応; 偏極代数多様体; Chow-Momford安定性; 小林-Hitchin対応; height関数; balanced embedding; prescribed Ricci eq

端的ケーラー計量の最も重要なものはスカラー曲率が一定のケーラー計量である.与えられたケーラー類にスカラー曲率一定のケーラー計量が存在するための必要十分条件は何だろうか?この問いは微分幾何の問いであるが,これが幾何学的不変式論におけるChow-Mumford安定性と同値であろう,という予想が,小林昭七とN.Hitchinによって提唱された小林/Hitchin予想である.複素幾何学の中心的な問題のみならず,多くの分野が関連し,多くの関連問題を生む力を持つ.本研究ではこの予想に力学系的な方法での挑戦を試みた.与えられた偏極に住む定スカラー曲率ケーラー計量が固定点になるような力学系を構成できた.(L, h)を射影的代数多様体X上のHermite計量hつきの偏極とし,hの曲率形式はケーラー形式とする.このケーラー形式に関するトレースが定数になるような(1,1)形式がc_1(X)に一意的に存在する.それをリッチ形式に持つような体積形式をV(h)とし,V(h)を体積形式に持つような正の偏極を(L, h')とする.LのHermite計量hに新しいHermite計量h'を対応させることにより,Lの正曲率Hermite計量の空間上の力学系が構成させる.この力学系の特徴はラプラス方程式とモンジュアンペール方程式を解くという積分操作で構成される点である.したがってこの力学系はリッチ流のように偏極のエネルギーレベルを下げる働きをすると考えられる.また,もしhの曲率形式がスカラー曲率一定のケーラー計量ならhはこの力学系の固定点である.もしこのアプローチが働くなら,解析的な困難は一般の偏極での反標準偏極でも本質的には同じである.反標準偏極の場合,この力学系はリッチ流の離散化になっている.そこでChow/Mumford安定性のもと,この力学系がChowノルムが大きいときにどのような振舞をするかを調べた.Chowノルムが大きいとき,安定性はリッチ曲率の集中があまりに強くなれないことを保証する.この設定で力学系を1ステップ走らせるとリッチ曲率の集中度はある意味で弱まることが示せる.また,実カテゴリーでの実験ではあるが,ベルジェ崩壊球面では,上で導入した力学系はリッチ流の軌道上をリッチ流と同じ向きに走り,標準球面に収束することが確認できた.

最重要的简单凯勒度量是具有恒定标量曲率的凯勒度量。在给定的凯勒类中存在具有恒定标量曲率的凯勒度量的充分必要条件是什么？这个问题是基于微分几何的。对于这个问题，这相当于几何不变量理论中的 Chow-Mumford 稳定性的猜想是由 Shoshichi Kobayashi 提出的。这就是N.希钦提出的小林/希钦猜想。它不仅是复杂几何中的一个中心问题，而且涉及到许多领域，并具有产生许多相关问题的能力。在本研究中，我们将解决这个猜想。我们尝试了一种动力系统方法，我们能够构建一个动力系统，其中给定偏振中的恒定标量曲率的凯勒度量是一个固定点（L，令 h) 是在射影代数簇 ) 上具有埃尔米特度量 h 的极化，在 Ricci 形式中唯一存在，令 V(h) 是具有 Rich 形式的体积形式，并令具有 V( 的正极化。 h) 的体积形式为 (L, h')。通过将L的埃尔米特度量h与新的埃尔米特度量h'相关联，构造了L的正曲率埃尔米特度量空间上的动力系统。该动力系统的特征是拉普拉斯方程和蒙茹-安培方程是由求解方程的积分运算组成的点。杠杆的动力系统被认为可以像 Ricci 流一样降低极化的能级。此外，如果 h 的曲率形式是具有恒定标量曲率的凯勒度量，则 h 是该动力系统中的固定点。如果这种方法有效，那么反标准偏振的分析难度与一般偏振的分析难度基本相同。在反标准极化的情况下，这个动力系统是Ricci流的离散化，因此，在Chow/Mumford稳定性下，当Chow范数很大时，这个动力系统表现如何？里奇曲率的集中度不能太强。可以看出，如果动力系统以此设置运行一步，里奇曲率的集中程度在一定意义上会减弱。另外，虽然实验是在真实范畴下进行的，但对于伯杰塌陷球体来说，动力学系统上面介绍的结果证实，系统在与里奇流方向相同的里奇流轨迹上运行，并收敛到标准球面。

项目成果

小林亮一: "Ricci-Flat Kaehler多様体の幾何学と解析学"培風館(出版予定). 400

小林良一：《Ricci-Flat Kaehler 流形的几何与分析》Baifukan（待出版）。

An attempt toward Diophantine analogue of ramification counting in Nevanlinna theory ・Truncated counting function in Schmidt Subspace Theorem

Nevanlinna 理论中分支计数的丢番图模拟的尝试 ・施密特子空间定理中的截断计数函数

• 发表时间: 2005
• 期刊: 京大数理研講究録「代数的整数論とその周辺」 (掲載予定)
• 作者: 小林亮一;T.Ibukiyama;Ryoichi Kobayashi
• 通讯作者: Ryoichi Kobayashi

小林亮一: "リッチフラットケーラー軽量の幾何学と解析学"培風館. 350 (2003)

小林良一：《富平科勒轻量化几何与分析》Baifukan 350 (2003)。

Ryoichi Kobayashi: "Truncated counting function for holomorphic curves in Abelian varieties"Proc. Complex Geometry Tokyo 2002. (発表予定). 1-17 (2003)

Ryoichi Kobayashi：“阿贝尔簇中全纯曲线的截断计数函数”Proc. Complex Geometry Tokyo 2002。（待提交）。

Ryoichi Kobayashi: "Toward Nevanlinna theory as a geometric model for Diophantine approximation"Sugaku Exp. (Amer. Math. Soc.). (発表予定). 1-43 (2003)

Ryoichi Kobayashi：“将 Nevanlinna 理论作为丢番图近似的几何模型”（Sugaku Exp.）（美国数学学会）（待发表）。