固有値の高速高精度数値計算手法の開発とその数理モデリングへの応用

高速、高精度特征值数值计算方法开发及其在数学建模中的应用

基本信息

批准号：
22K03422
负责人：
相島健助
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Hosei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03422/
关键词：
数値線形代数

项目摘要

現代理工学および情報化社会において，計算機を用いるシミュレーション技術およびそれに基づく現象の解析や予測の技術は，非常に重要視されている．計算機シミュレーションにおいて，線形代数的な数値計算は一つの基盤となるが，その学問体系を数値線形代数などと呼ぶ．本研究は数値線形代数の中でも，一つの柱をなす固有値計算に焦点を当てている．固有値計算の数学理論の深化とその数理モデリングへの応用を目指している．今年度の研究では，主に統計モデルとの関係で固有値計算技術の応用の可能性を検討した．具体的には，線形回帰モデルをより実用的な問題に合わせて，説明変数が確率的なノイズを含む場合を検討した．現存のノイズに対してロバストな数値計算手法として，全最小二乗法が知られている．近年，応用上の観点から，線形回帰モデルに対してもノイズの制約として様々なモデリングが検討されているが，全最小二乗法が一致推定量となるモデルは古典的なモデルに限定される．今年度は，本研究によりこの問題を部分的に解決した．具体的な研究成果としては，ある種の線形制約を課したモデルに対して，全最小二乗法に適切な射影を施すことで，一致推定量を与えることを数学的に証明した．この証明の理論背景としては，大規模固有値計算に標準的に用いられるレイリー・リッツの技法，そして特異値分解の最適性が核となっており，固有値計算の数学理論の観点からも非常に興味深いものである．固有値計算手法に内在する計算技術が，応用分野に直接寄与できる可能性を示したという点も意義は大きく，今後の研究の継続の重要性を示している．

在现代科学技术和信息社会中，利用计算机的模拟技术以及基于它的现象分析和预测技术显得极为重要。在计算机模拟中，线性代数数值计算是基础之一，这个学术体系被称为数值线性代数。这项研究的重点是特征值计算，这是数值线性代数的支柱之一。我们的目标是深化特征值计算的数学理论并将其应用于数学建模。在今年的研究中，我们主要研究了特征值计算技术在统计模型中应用的可能性。具体来说，我们将线性回归模型应用于更实际的问题，并考虑解释变量包括随机噪声的情况。总体最小二乘法被称为对现有噪声具有鲁棒性的数值计算方法。近年来，从应用角度来看，线性回归模型的噪声约束考虑了多种建模方法，但以总体最小二乘法为匹配估计量的模型仅限于经典模型。今年，我们通过这项研究部分解决了这个问题。作为具体的研究结果，我们在数学上证明了对施加某种类型的线性约束的模型应用适当的投影到总最小二乘法可以提供一致性估计量。该证明的理论背景以瑞利-里兹技术为中心，该技术标准用于大规模特征值计算和奇异值分解的优化，从特征值计算的数学理论的角度来看非常有趣。是某事。特征值计算方法所固有的计算技术已经显示出直接为应用领域做出贡献的可能性，这一事实也很重要，并表明了未来继续研究的重要性。