Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds

使用 Sobolev 流形分析拓扑几何中的变分问题

基本信息

批准号：
21K18583
负责人：
長澤壯之
金额：
$ 3.99万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

結び目のエネルギーの代表であるメビウス・エネルギーの諸性質を理解するために、結び目だけでなく絡み目のエネルギー全般を解析し、メビウス・エネルギーの特殊性を浮き挙がらせる方法を用いた。結び目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解が絡み目に対するメビウス・エネルギーについても成り立つ事が分かった。分解エネルギーについては、同一のものにかからわず、様々な表現が知られている。ここでは、ガウス写像を用いた表現を得た。絡み目の場合、ガウス写像の写像度が絡み数という位相不変量となる。このように位相を表現する量を用いて分解エネルギーが表現できたことは、位相を固定したときの変分問題に応用できるのではと考えられる。元々第一分解エネルギーは分数冪調和写像のエネルギーとの類似が指摘されていたが、第二分解エネルギーはガウス写像を用いる事で波動写像（調和写像の一種）と緊密に関連する事が明らかとなった。これは、当初は想定していなかった発見である。調和写像については従前より膨大な研究成果があり、結び目や絡み目のメビウス・エネルギーの新たな知見が得られることは期待できる。更に、メビウス・エネルギーのメビウス不変分解は、ユークリッド空間内の結び目や絡み目に対して成立するが、これはユークリッド空間で中線定理が成り立つことに由来することも明らかになった。これは、前ヒルベルト空間に値をもつ結び目や絡み目に対する場合でも類似の結果を生むことを示唆する。これも研究当初では想定しなかった発見である。

为了理解代表纽结能量的莫比乌斯能量的性质，我们不仅分析了纽结的能量，而且还分析了一般的链接能量，并使用了突出莫比乌斯能量特殊特征的方法。研究发现，结的莫比乌斯能量的莫比乌斯不变分解也适用于链接的莫比乌斯能量。关于分解能，无论同一事物，已知有各种表达方式。在这里，我们使用高斯图获得了一个表达式。在链接的情况下，高斯图的映射程度成为称为链接数量的拓扑不变量。可以使用以这种方式表示相位的量来表示分解能量，这一事实可能适用于相位固定时的变分问题。最初指出第一分解能量与分数功率谐波映射的能量相似，但通过使用高斯映射，已经清楚第二分解能量与波映射（谐波映射的一种）密切相关。它变成了。这是一个最初没有预料到的发现。关于调和映射已经有大量的研究成果，我们有望获得关于纽结和链接的莫比乌斯能量的新知识。此外，研究表明，莫比乌斯能量的莫比乌斯不变分解对于欧几里德空间中的结和链接成立，这是由于中值定理在欧几里德空间中成立的事实。这表明对于在前希尔伯特空间中具有值的结和领带，会产生类似的结果。这也是研究之初没有预料到的发现。