Commutative algebraic study of hyperplane arrangements

超平面排列的交换代数研究

基本信息

批准号：
18F18756
负责人：
吉永正彦
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-11-09 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18F18756/
关键词：
超平面配置自由性

项目摘要

超平面配置は様々な組み合わせ論的問題と関係した研究対象であるが、同時に可換環論的な側面も持っている。そのような代数的構造の代表的なものの一つに対数的ベクトル場のなす加群がある。ここ数年、様々な数列の対数的凸性との関連で、Gorenstein-Artin環のLefschetz性（なめらかな射影多様体のコホモトジー環においてKahler形式から定まる元が持つ非退化性(Lefschetz分解)や正値性(Hodge-Riemann不等式)を代数的に抽象化したもの）が注目を集め、活発に研究されている。超平面配置の対数的ベクトル場の加群は、超平面配置のヤコビイデアルやその商環であるヤコビ環の代数的性質と密接に関係しており、日本学術振興会外国人特別研究員のElisa Palezzato氏は、超平面配置の可換環論的な側面について、いくつかの研究を進めている。一つ目のテーマはヤコビ環の可換間論的な側面、とくにLefschetz性についてである。超平面配置の特異点は孤立特異点でないため、ヤコビ環はArtin環とはならない。そこで自然数k>0に対して「k-Lefschetz性」という概念が定義されている。超平面配置のヤコビ間がk-Lefschetz性を持つための必要十分条件をいくつか明らかにした。二つ目のテーマは、数年前に阿部拓郎氏によって導入された "Plus-one generated" という性質をもった超平面配置である。これは寺尾宏明氏を中心に長年よく調べられてきた「自由配置」の次の自然なクラスト考えられている。また、有理数体上定義された超平面配置を mod p で有限体上の超平面配置としたときに自由性がどうふるまうかという基本的な問題にも成果を挙げた。これら超平面配置の研究のほかに、グラフ理論の研究者とともに、純粋にグラフ理論の研究も進めている。

超平面配置是与各种组合问题相关的研究主题，但同时它们也具有交换代数方面。代表性的代数结构之一是由对数向量场形成的模。近年来，针对各种序列的对数凸性，我们一直在研究 Gorenstein-Artin 代数的 Lefschetz 性质（由光滑的上同调代数中的 Kahler 形式确定的元素的非简并性质（Lefschetz 分解））射影多样性）和有效性（霍奇-黎曼不等式的代数抽象）已引起人们的关注并正在积极研究。超平面构型中的对数向量场的模与超平面构型中的雅可比理想及其商环雅可比环的代数性质密切相关。他正在对超平面构型的交换代数方面进行多项研究。第一个主题是雅可比环的交换方面，特别是莱夫谢茨性质。由于超平面构型的奇点不是孤立奇点，因此雅可比环不是 Artin 环。因此，对于自然数k>0定义了“k-Lefschetz性质”的概念。我们阐明了超平面配置的雅可比区间具有 k-Lefschetz 性质的一些充要条件。第二个主题是安倍拓郎几年前提出的具有“加一生成”属性的超平面排列。这被认为是继“自由放置”之后的下一个自然地壳，寺尾宏明多年来对此进行了广泛的研究。我们还在有理数域上定义的超平面配置使用 mod p 变换为有限域上的超平面配置时自由度如何表现这一基本问题上取得了成果。除了这些超平面构型的研究之外，我们还与图论研究人员一起进行纯图论研究。