Research of logarithmic vector fields of hyperplane arrangements

超平面排列对数向量场的研究

• 批准号: 21H00975
• 负责人: 阿部 拓郎
• 金额: $ 10.9万
• 依托单位: Rikkyo University (2023)Kyushu University (2021-2022)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00975/
• 关键词: 超平面配置; 対数的ベクトル場; 斎藤の原始微分; 有理Cherednik代数; レフシェッツ性; 自由配置; SPOG配置; 加法定理; 除去定理; free filtration; 制限定理; Hessenberg多様体; Solomon-寺尾代数; 准不変式環; 原始微分; 有理Cherednik代数と準不変式; 超平面配置; 対数的ベクトル場; 斎藤の原始微分; 有理Cherednik代数; レフシェッツ性; 自由配置; SPOG配置; 加法定理; 除去定理; free filtration; 制限定理; Hessenberg多様体; Solomon-寺尾代数; 准不変式環; 原始微分; 有理Cherednik代数と準不変式

本年度はまず、自由配置に一枚超平面を付け加えた場合の構造が自由でない場合でも、ある程度決定できることを証明した。その構造は私が2021年に証明し近年特異点論的観点からも注目を集めているSPOG構造であり、本結果はそれが組み合わせ論的に定まるケースを多く包含していて、対数的ベクトル場の構造決定論における大きな進展である。もう少し具体的に説明すると、ある配置が自由配置であり、その配置に含まれないある超平面への制限がやはり自由配置であるとする。この場合、それらの指数の間に良い関係があれば、その超平面を加えた新しい超平面配置も自由であることを主張するのが、寺尾の加法定理である。他方、寺尾の加法定理の条件を満たさずとも、付け加える前の配置及び制限が自由である場合が存在することは知られていた。この場合加えた後の配置の対数的ベクトル場の代数構造解析は謎であり、大きな問題であった。これに対して上述の通りSPOG理論を巧妙に適用することで、ある条件下では加えて得られる新しい超平面配置の対数的ベクトル場がSPOG構造を持つことが分かった。これにより自由配置に近い配置の対数的ベクトル場の構造論が大きく進展した。またこれを用いて、学生の山口徹氏とともに、自由配置の間の配置が自由であるかどうかという問題に対して一定の解答を与えた。具体的には、まず一般次元において、自由配置から二枚超平面配置を除いたものがやはり自由であるならば、この二つの間に一つは自由配置があることを示した。更に三次元の場合に限定すると、二枚を三枚に増やしても、自由なままこの二つを繋ぐpathがあることが証明された。このような研究はこれまでに例がなく、SPOG理論の強力さをよく表しているといえる。

今年，我们首先证明，即使将单个超平面添加到免费布局时，结构不是免费的，也可以在某种程度上确定。这种结构是我在2021年证明的一种汤匙结构，近年来一直从奇异性的角度吸引人们的注意，其中包括许多在组合理论中确定的案例，并且是对数矢量领域结构决定论的主要发展。更具体地说，假设某个安排是免费的安排，并且该安排中未包含的某个超平面的限制也是免费的安排。在这种情况下，Terao的添加剂定理认为，如果这些指数之间存在良好的关系，那么与超平面添加的新超平面布置也是免费的。另一方面，众所周知，即使未满足Terao的添加剂定理的条件，在添加之前的布置和限制也是免费的。在这种情况下，加法后的对数矢量场的代数结构分析是一个谜和一个主要问题。相比之下，通过如上所述巧妙地应用汤匙理论，发现在某些条件下，获得的新的超平面对数矢量磁场此外还具有汤匙结构。这导致了对数矢量场结构理论的重大进步，其安排接近自由安排。使用它，他与Yamaguchi学生Toru Yamaguchi一起给出了一定的答案，该问题是免费布局之间的位置是否免费。具体而言，首先，在一般维度中，如果从两个超平面布局中删除了自由布局，则一个是免费的，则一个是两个之间的布局，则一个是两个之间的布局。此外，如果我们将其限制在三维情况下，则已经证明，即使我们增加了两到三个的数量，也有一条连接两者的路径，但仍可自由。以前从未见过这样的研究，可以说是抢劫理论强度的一个很好的例子。