Research of logarithmic vector fields of hyperplane arrangements

超平面排列对数向量场的研究

• 批准号: 21H00975
• 负责人: 阿部 拓郎
• 金额: $ 10.9万
• 依托单位: Rikkyo University (2023)Kyushu University (2021-2022)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00975/
• 关键词: 超平面配置; 対数的ベクトル場; 斎藤の原始微分; 有理Cherednik代数; レフシェッツ性; 自由配置; SPOG配置; 加法定理; 除去定理; free filtration; 制限定理; Hessenberg多様体; Solomon-寺尾代数; 准不変式環; 原始微分; 有理Cherednik代数と準不変式

本年度はまず、自由配置に一枚超平面を付け加えた場合の構造が自由でない場合でも、ある程度決定できることを証明した。その構造は私が2021年に証明し近年特異点論的観点からも注目を集めているSPOG構造であり、本結果はそれが組み合わせ論的に定まるケースを多く包含していて、対数的ベクトル場の構造決定論における大きな進展である。もう少し具体的に説明すると、ある配置が自由配置であり、その配置に含まれないある超平面への制限がやはり自由配置であるとする。この場合、それらの指数の間に良い関係があれば、その超平面を加えた新しい超平面配置も自由であることを主張するのが、寺尾の加法定理である。他方、寺尾の加法定理の条件を満たさずとも、付け加える前の配置及び制限が自由である場合が存在することは知られていた。この場合加えた後の配置の対数的ベクトル場の代数構造解析は謎であり、大きな問題であった。これに対して上述の通りSPOG理論を巧妙に適用することで、ある条件下では加えて得られる新しい超平面配置の対数的ベクトル場がSPOG構造を持つことが分かった。これにより自由配置に近い配置の対数的ベクトル場の構造論が大きく進展した。またこれを用いて、学生の山口徹氏とともに、自由配置の間の配置が自由であるかどうかという問題に対して一定の解答を与えた。具体的には、まず一般次元において、自由配置から二枚超平面配置を除いたものがやはり自由であるならば、この二つの間に一つは自由配置があることを示した。更に三次元の場合に限定すると、二枚を三枚に増やしても、自由なままこの二つを繋ぐpathがあることが証明された。このような研究はこれまでに例がなく、SPOG理論の強力さをよく表しているといえる。

今年，我们首次证明，即使结构不是自由的，当将单个超平面添加到自由排列中时，它也可以在一定程度上确定。该结构是我在2021年证明的SPOG结构，近年来从奇点理论的角度引起了人们的关注，这个结果包括很多组合确定的情况，它是一个对数向量场。结构决定论的重大进展。更具体地解释，假设某个排列是自由排列，并且对该排列中不包括的超平面的限制也是自由排列。在这种情况下，Terao 的加法定理断言，如果这些索引之间存在良好的关系，则通过添加该超平面的新超平面配置也是自由的。另一方面，已知即使不满足寺尾加法定理的条件，也存在加法之前的配置和限制是自由的情况。在这种情况下，相加后构型的对数向量场的代数结构分析是一个谜，也是一个大问题。通过巧妙地应用上述SPOG理论，我们发现在一定条件下，额外获得的新超平面构型的对数向量场具有SPOG结构。这使得构型接近自由构型的对数矢量场的结构理论取得了重大进展。另外，利用这一点，我们与学生山口彻一起，对自由安排之间的安排是否免费的问题提供了一定的答案。具体来说，我们首先证明，在一般维度中，如果自由构型减去两个超平面构型仍然是自由的，那么这两者之间存在一个自由构型。此外，将其限制在三维情况下，已经证明，即使将卡的数量从两张增加到三张，也有一条路径将两者连接起来，同时保持自由。这种研究以前从未有人做过，可以说是SPOG理论实力的一个很好的例证。

项目成果

Logarithmic modules of hyperplane arrangements and their freeness

超平面排列的对数模及其自由度

• 发表时间: 2021
• 作者: 信田直希;池田 譲;Takuro Abe
• 通讯作者: Takuro Abe

Takuro Abe

阿部拓郎

自由配置の加法定理再論

重新检验自由配置的加法定理

• 发表时间: 2022
• 作者: Yujiro Kawamata;阿部拓郎
• 通讯作者: 阿部拓郎

Researchmap

研究地图

Addition-restriction theorems and projective dimensions of logarithmic vector fields of hyperplane arrangements

超平面排列对数向量场的加法限制定理和射影维数

• 发表时间: 2022
• 作者: Takuro Abe