ルート系の組合せ論と関連した対数的ベクトル場の幾何学

与根系统组合相关的对数向量场的几何

基本信息

批准号：
04J00658
负责人：
吉永正彦
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度に引き続き、実超平面配置の補集合の極小セル分割の構造を調べた。基本群の新しい表示や、局所系係数のchain complexの境界写像を、chamberのトポロジーを使って記述することに成功した。この時点で論文としてまとめ、専門誌に投稿した。これらの成果の具体的な応用は今後の課題である。A2型ルート系に付随した、ある種のアフィン直線配置の続に対して、その特性多項式の変化が、非常に単純な規則にしたがっていることを観察した。筆者はこの現象の背後に、対数的ベクトル場の幾何学的な性質があると考え、「3-shift問題」を定式化した。計算機(Macaulay)による多くの実験はこの予想を支持しており、またK.Saitoのホッジフィルトレーション、平坦構造の理論とのアナロジーなども観察されている。この問題は一般のルート系に対しても、「h-shift問題」(ただしhはコクセター数)として定式化できるが、現時点ではA2の場合を証明することが目標である。筆者は最近、モース関数の勾配流により、chamberとログ微分形式を結びつけるアイデアを得た。これに基づいて、カレントによる平坦接続を構成した。このカレント接続のモノドロミーは、従来よく研究されてきたKZ型平坦接続のモノドロミーと(up to conjugateで)「同等」であり、かつモノドロミーが指数写像だけで具体的に書けるという利点を持つ。まだ実験段階であるが、気補群の群論的性質の解明、補集合の有理ホモトピー型の研究への応用が期待される。

从去年开始，我们研究了真实超平面配置的互补集的最小细胞分裂的结构。我们成功地描述了基本群的新表示以及使用室拓扑的局部系统系数链复合体的边界映射。至此，我把它整理成一篇论文，投给了一家专业期刊。这些成果的具体应用是未来的挑战。我们观察到，对于与 A2 型根系相关的仿射线性构型的一些延拓，特征多项式的变化遵循一个非常简单的规则。作者认为这一现象的背后隐藏着对数向量场的几何性质，并提出了“3-shift问题”。许多使用计算机（Macaulay）的实验支持了这一猜想，并且也观察到了与 K. Saito 的 Hodge 过滤和平面结构理论的类比。虽然这个问题可以表述为一般根系统的“h 平移问题”（其中 h 是 Coxeter 数），但我们当前的目标是证明 A2 的情况。作者最近有了一个想法，利用莫尔斯函数的梯度流来连接腔室和对数微分形式。在此基础上，构建了利用电流的扁平连接。这种当前的连接单调与过去已被充分研究的KZ型平面连接单调“等价”（直至共轭），并且具有仅使用指数映射就可以具体地写出该单调的优点。虽然仍处于实验阶段，但预计将应用于互补群的群论性质的阐明和互补集有理同伦类型的研究。